Teoria e progetto di costruzioni e strutture/Esercizi svolti

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Questa pagina raccoglie gli esercizi svolti del corso di Teoria e progetto di costruzioni e strutture.

Geometria delle aree[modifica]

Esercizio 1[modifica]

Esercizio geometria delle aree 1.png

Testo e dati[modifica]

a = 60 mm
b = 180 mm
c = 360 mm

fy = ± 80 MPa
γ = 2

Soluzione

Calcolo superficie totale

 A = (a \cdot b) \cdot 2 + [(h - 2a) \cdot a] = 60 \cdot 180 \cdot 2 + 240 \cdot 60 = 36\,000\,mm^2


Calcolo momenti d'inerzia

 I_{xx} = \left[ \frac{60 \cdot 180^3}{12} + 60 \cdot 180 \cdot (90 - 30)^2 \right] \cdot 2 + \frac{240 \cdot 60^3}{12} = 140\,400\,000\,mm^4

 I_{yy} = \left[ \frac{180 \cdot 60^3}{12} + 60 \cdot 180 \cdot (120 + 30)^2 \right] \cdot 2 + \frac{60 \cdot 240^3}{12} = 561\,600\,000\,mm^4


Calcolo momento centrifugo

 I_{xy} = 60 \cdot 180 \cdot \left[ - \left( \frac{180}{2} - \frac{60}{2} \right) \right] \cdot \left[ - \left( \frac{240}{2} + \frac{60}{2} \right) \right] + 60 \cdot 180 \cdot \left( \frac{180}{2} - \frac{60}{2} \right) \cdot \left( \frac{240}{2} + \frac{60}{2} \right) = 194\,400\,000\,mm^4


Calcolo momenti principali d'inerzia

 \begin{align} I_{\xi \xi} & = \frac{I_{xx} + I_{yy}}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{(I_{xx} - I_{yy})^2 + 4 \cdot I_{xy}^2} = \\ & = \frac{140\,400\,000 + 561\,600\,000}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{(140\,400\,000 - 561\,600\,000)^2 + 4 \cdot 194\,400\,000^2} = 637\,607\,257\,mm^4 \end{align}


 I_{\eta \eta} = \frac{I_{xx} + I_{yy}}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{(I_{xx} - I_{yy})^2 + 4 \cdot I_{xy}^2} = ... = 64\,392\,742\,mm^4


 \alpha = \frac{1}{2} \arctan \left( - \frac{2 \cdot I_{xy} }{I_{xx} - I_{yy} } \right) = 21,35^\circ


 \alpha < 45^\circ     e      I_{xx} < I_{yy}  \longrightarrow  I_{\xi \xi} = I_{vv}


Calcolo tensione ammissibile

 \overline{AH} = distanza\ da\ A\ a\ G

 \overline{BH} = distanza\ da\ B\ a\ G


 \overline{BH} = \frac{360}{2} \cdot cos \ 31{,}35^\circ + \left( 180 - \frac{60}{2} \right) \cdot sen \ 31{,}35^\circ = 222{,}26\,mm


 \overline{AH} = - \overline{BH} = - 222{,}26\,mm


 \sigma_{adm} = \frac{M}{I_{\xi \xi}} \cdot \overline{BH}

si applica la formula inversa:

 M_{max} = \frac{\sigma_{adm} \cdot I_{\xi \xi}}{\overline{BH}} = \frac{40 \cdot 637\,607\,257}{222{,}26} = 114\,749\,798\, N \cdot mm^2


 \sigma_{B} = \frac{M \cdot \overline{BH}}{I_{\xi \xi}} = \frac{M \cdot 222{,}26}{637\,607\,257} = 3{,}48 \cdot 10^{-7} \cdot M


 \sigma_{A} = \frac{M \cdot \overline{AH}}{I_{\xi \xi}} = \frac{M \cdot ( - 222{,}26)}{637\,607\,257} = - 3{,}48 \cdot 10^{-7} \cdot M


 \sigma_{max} = \frac{M_{max} \cdot \overline{BH}}{I_{\xi \xi}} = 40\,MPa

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