Teoria ed elaborazione dei segnali/Campionamento

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2 Un segnale analogico è più facile da elaborare se viene campionato in un segnale numerico, cioè tempo discreto e discreto in ampiezza. Come campionare un segnale tempo-continuo senza perdere informazione?

Teorema del campionamento (o di Nyquist-Shannon)

Un segnale tempo-continuo può essere campionato e perfettamente ricostruito a partire dai suoi campioni se la frequenza di campionamento è maggiore del doppio della banda[1] del segnale:

5 con la condizione che la banda sia limitata.

3 Il teorema del campionamento garantisce che il segnale campionato può essere ricostruito perfettamente tramite un filtro interpolatore (ricostruttore), e che il segnale ricostruito coinciderà con il segnale tempo-continuo di partenza.

Filtro anti-aliasing[modifica]

8-9-10 La maggioranza dei segnali utilizzati nella realtà ha banda illimitata: esiste un intervallo al di fuori del quale il segnale è significativamente vicino a zero, ma non è mai identicamente nullo. Il segnale campionato quindi presenterà nel dominio della frequenza delle sovrapposizioni degli spettri che alla fine non possono essere ricostruite dal filtro interpolatore. Il filtro anti-aliasing serve per eliminare le parti ad alta frequenza prima del campionamento:

con . La distorsione del filtro anti-aliasing non è ugualmente rimediabile, ma è comunque preferibile rispetto all'effetto di aliasing (o sovrapposizione).

Campionatori reali[modifica]

Real sampler filter.png

11-12 Il campionatore ideale (treno di delta):

è impossibile da realizzare nella realtà, perché la delta è un impulso con ampiezza illimitata e supporto infinitesimo → si utilizza un impulso il più possibile simile alla delta, cioè con ampiezza molto grande e supporto molto piccolo:

Interpolatori[modifica]

Condizioni ideali[modifica]

4-5 Un segnale campionato:

può essere ricostruito tramite un filtro passa-basso ideale, detto filtro ricostruttore ottimo :

Il filtro ricostruttore ottimo deve essere:

  • non distorcente nella banda del segnale (piatto);
  • nullo al di fuori della banda del segnale per eliminare le componenti ad alta frequenza.

Esempi di interpolatori distorcenti[modifica]

6 Costante a tratti

Il segnale viene approssimato a una serie di rettangoli:

Lineare

Il segnale viene approssimato a una serie di trapezi:

Esempi di interpolatori non distorcenti[modifica]

7 Funzione sinc
Ideal interpolator filter (frequency).png

Il filtro interpolatore ideale è il seguente:

perché il segnale viene ricostruito da una sommatoria di infinite funzioni sinc, dove per ogni esiste una sinc che assume esattamente il valore del campione -esimo all'istante e un valore nullo in tutti gli altri istanti di campionamento:

Tuttavia nei punti intermedi agli istanti di campionamento il segnale è dato dalla somma dei contributi di infinite funzioni sinc:

Ideal interpolator filter (time).png
Coseno rialzato
Raised cosine filter.png

Condizioni:

  • roll-off : (se diventa la funzione sinc)

Condizioni reali[modifica]

12-13 Il filtro ricostruttore può integrare anche un filtro equalizzatore che rimedi agli effetti del filtro anti-aliasing e alle distorsioni provocate da un campionatore reale:

a patto che , cioè la trasformata di Fourier dell'impulso campionatore , non cancelli definitivamente qualche frequenza compresa nella banda del filtro anti-aliasing:

Schema a blocchi sistema di campionamento.png

Note[modifica]

  1. Per banda si intende qui la lunghezza del supporto in frequenza.
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