Sistemi e tecnologie elettroniche/La giunzione pn

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2 Una giunzione pn è una regione di semiconduttore perfettamente cristallino nella quale si abbia una parte drogata p ed una drogata n. Si parla idealmente di giunzione brusca quando non c'è alcuna regione di transizione tra le due regioni e le concentrazioni di atomi droganti passano subito da N_A a N_D.

Condizioni di equilibrio termodinamico[modifica]

3 Supponiamo di riuscire idealmente a realizzare una giunzione pn saldando assieme due semiconduttori, sebbene in realtà la tecnologia non consenta tecnicamente tale operazione. I due semiconduttori presi inizialmente isolati sono omogenei e localmente neutri → trascurando il contributo dei portatori minoritari, le cariche dei portatori maggioritari si compensano con quelle degli atomi ionizzati.

4 Dopo la formazione della giunzione, siccome i portatori minoritari in ciascuna regione sono trascurabili, i portatori maggioritari si spostano per diffusione nel lato opposto, ma l'incontro tra una lacuna e un elettrone libero in corrispondenza della giunzione metallurgica provoca una ricombinazione dei due → tra le regioni inizia a formarsi una regione svuotata (o di carica spaziale).

Graphs for a p–n junction on depletion.png

5 La regione svuotata è priva di portatori liberi, e quindi la carica degli atomi ionizzati non è più bilanciata → la regione svuotata ha una densità di carica \rho non nulla (in particolare pari a -qN_A nella metà verso il lato p, e qN_D nella metà verso il lato n), e internamente a essa si crea un campo elettrico \vec{\mathcal{E}} detto di built-in (o di contatto), associato a un potenziale V_{\text{bi}} non applicato dall'esterno detto di built-in (o di contatto). Siccome è negativo,[1] il campo elettrico oppone al moto di diffusione di portatori liberi una forza di trascinamento sempre maggiore, agente sui pochissimi portatori minoritari rimasti nella regione svuotata, fino a raggiungere l'equilibrio dettagliato:

\begin{cases} {J_{\text{diff}}}_n + {J_{\text{tr}}}_n =0 \\
{J_{\text{diff}}}_p + {J_{\text{tr}}}_p =0 \end{cases}

Non c'è un confine netto tra la regione neutra e la regione svuotata; l'ampiezza della regione di transizione viene però considerata trascurabile nell'approssimazione di completo svuotamento: la regione svuotata è esattamente compresa tra -x_p e x_n.

P–n junction on depletion.png

6 Applicando il teorema di Gauss:

\oint_\Omega \rho dV = \oint_\Sigma \vec D \cdot \hat n d \sigma = \oint_\Sigma \epsilon \vec{\mathcal E} \cdot \hat n d \sigma

a un cilindro \Omega che racchiude la regione svuotata:

  • le basi tagliano la giunzione in -x_p e x_n, cioè nelle regioni neutre dove il campo elettrico \vec{\mathcal{E}} è nullo;
  • il vettore normale \hat n alla superficie cilindrica \Sigma è ortogonale all'asse del cilindro, a sua volta parallelo all'asse x e al campo elettrico \vec{\mathcal E} → il prodotto scalare \vec{\mathcal E} \cdot \hat n =0.

La regione racchiusa dal cilindro è quindi in condizione di neutralità globale:

\oint_\Omega \rho dV = 0 \Rightarrow \int_{- x_p}^{x_n} \rho \left( x \right) dx = 0

e ciò impone delle condizioni ai grafici di \rho \left( x \right) e \mathcal E \left( x \right):

\left( -q N_A \right) \left( -x_p \right) = \left( q N_D \right) x_A \Rightarrow \begin{cases} N_A x_p = N_D x_n \\ \mathcal E \left( 0^- \right) = \mathcal E \left( 0^+ \right) = - {\mathcal{E}}_{\text{max}} \end{cases}

Se N_D \ll N_A \Rightarrow x_p \to 0, si può trascurare la parte di regione svuotata appartenente al campione drogato di tipo p (e viceversa).

8 In equilibrio termodinamico, la regione svuotata presenta perciò un campo elettrico \vec{\mathcal{E}} \left( x \right):

\frac{d \mathcal E}{dx} = \frac{\rho}{\epsilon} \Rightarrow \mathcal{E} \left( x \right) = \begin{cases} - \frac{q N_A}{\epsilon} \left( x + x_p \right) & - x_p \leq x \leq 0 \\ + \frac{qN_D}{\epsilon} \left( x-x_n \right) & 0 \leq x \leq x_n \end{cases}

che, per la condizione di neutralità globale, in corrispondenza della giunzione metallurgica equivale a:

\mathcal{E} \left( 0^- \right) = \mathcal{E} \left( 0^+ \right) \Rightarrow {\mathcal{E}}_{\text{max}} = \frac{qN_A}{\epsilon} x_p = \frac{qN_D}{\epsilon} x_n

10 da cui si ricava un potenziale elettrostatico \varphi \left( x \right) a tratti parabolici:

\frac{d \varphi}{dx} = - \mathcal{E} \Rightarrow \varphi \left( x \right) = \begin{cases} 0  & x \leq - x_p \\ + \frac{qN_A}{2 \epsilon} {\left( x+x_p \right)}^2 & -x_p \leq x \leq 0 \\ - \frac{qN_D}{2 \epsilon} {\left( x-x_n \right)}^2 + \frac{qN_A}{2 \epsilon} {x_p}^2 + \frac{qN_D}{2 \epsilon} {x_n}^2 & 0 \leq x \leq x_n \\ \varphi \left( x_n \right) - \varphi \left( x_p \right) = \frac{qN_A}{2 \epsilon} {x_p}^2 + \frac{qN_D}{2 \epsilon} {x_n}^2 & x \geq x_n \end{cases}

Diagramma a bande[modifica]

11 Il diagramma a bande di energia è una rappresentazione grafica dell'energia potenziale U alla quale sono sottoposti gli elettroni. Nella regione svuotata, l'energia potenziale U(x)[2] segue l'andamento inverso del potenziale elettrostatico \varphi (x):

U(x)=-q \varphi (x)

13 determinando ai capi della regione svuotata una barriera di energia potenziale qV_{\text{bi}}, che si oppone al flusso di portatori, con potenziale di built-in V_{\text{bi}} pari a:

V_{\text{bi}} = \varphi \left( x_n \right) - \varphi \left( -x_p \right) =- \frac{U \left( x_n \right)}{q} + \frac{U \left( - x_p \right)}{q} = \frac{- {E_F}_i \left( x_n \right) + {E_F}_i \left( -x_p \right)}{q}

12 Si può dimostrare che siccome il dispositivo non è attraversato da corrente, il livello di Fermi E_F si trova a un livello di energia potenziale costante lungo x. Nelle regioni neutre, le equazioni di Shockley legano il livello di Fermi E_F al livello di Fermi intrinseco {E_F}_i (x):

\begin{cases} n=N_D = n_i \cdot e^{\frac{E_F-{E_F}_i}{k_BT}} \\
p = N_A = n_i \cdot e^{\frac{{E_F}_i - E_F}{k_BT}} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} E_F - {E_F}_i = k_BT \ln{\frac{N_D}{n_i}} & n \geq x_n \\
{E_F}_i -E_F = k_B T \ln{\frac{N_A}{n_i}} & x \leq - x_p \end{cases}

14 Sfruttando anche la condizione di neutralità globale N_A x_p=N_D x_n, si ricava che le ampiezze x_n e x_p sono proporzionali alla radice quadrata del potenziale di built-in V_{\text{bi}} = \varphi \left( x_n \right) - \varphi \left( -x_p \right) che sta ai capi della regione svuotata:[3]

\begin{cases} V_{\text{bi}} = \frac{- {E_F}_i \left( x_n \right) + {E_F}_i \left( -x_p \right)}{q} = \frac{k_B T}{q} \ln{\frac{N_AN_D}{{n_i}^2}} \\
V_{\text{bi}} = \varphi \left( x_n \right) - \varphi \left( - x_p \right) = \frac{qN_A}{2 \epsilon} {x_p}^2 + \frac{qN_D}{2 \epsilon} {x_n}^2 \\
N_A x_p = N_D x_n \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_n = \sqrt{\frac{2 \epsilon}{q}} \cdot \frac{\sqrt{N_{\text{eq}}}}{N_D} \cdot \sqrt{\varphi \left( x_n \right) - \varphi \left( -x_p \right)} \\
x_p = \sqrt{\frac{2 \epsilon}{q}} \cdot \frac{\sqrt{N_{\text{eq}}}}{N_A} \cdot \sqrt{\varphi \left( x_n \right) - \varphi \left( -x_p \right)} \\
x_d = x_n + x_p = \sqrt{\frac{2 \epsilon}{q}} \cdot \frac{1}{\sqrt{N_{\text{eq}}}} \cdot \sqrt{\varphi \left( x_n \right) - \varphi \left( -x_p \right)} \end{cases}

dove N_{\text{eq}} è il "parallelo" tra le concentrazioni N_A e N_D:

N_{\text{eq}} =N_A ||N_D= \frac{N_A \cdot N_D}{N_A+N_D}

Reinterpretazione del diagramma a bande[modifica]

15 Per il diagramma a bande viene preso come riferimento assoluto il livello del vuoto E_0, che è la minima energia che deve assumere un elettrone per liberarsi e uscire all'esterno del cristallo. Si definiscono i seguenti salti di energia:

  • affinità elettronica q \chi_S: il salto di energia rispetto ad E_c:
    q \chi_S=E_0-E_c
  • lavoro di estrazione q \phi_S: il salto di energia rispetto al livello di Fermi E_F:
q \phi_S=E_0-E_F=q \chi_S+E_c-E_F

Il lavoro di estrazione q \phi_S dipende dal drogaggio; l'affinità elettronica è propria del materiale (ad es. per il silicio vale: q \chi_S=4,05 \; eV).

16 I due campioni presi isolati presentano un diverso livello di Fermi E_F: il campione drogato di tipo p ha un livello di Fermi inferiore a quello intrinseco {E_F}_i, e l'altro di tipo n lo ha superiore.

17 Formata la giunzione, l'equilibrio impone che il livello di Fermi E_F sia costante → il salto tra i due livelli di Fermi dei campioni isolati deve essere annullato da uno sfalsamento pari a qV_{\text{bi}} del livello del vuoto E_0 → siccome anche l'affinità elettronica q \chi_S dev'essere costante, tutti gli altri livelli di energia subiscono pari sfalsamento. Nella regione svuotata, la variazione del livello di Fermi E_F rispetto a quello intrinseco {E_F}_i determina il flusso di portatori liberi.

16 Ricordando le equazioni di Boltzmann, i due campioni, aventi uguale affinità elettronica q \chi_S perché dello stesso materiale, quando presi isolati hanno i seguenti lavori di estrazione:

\begin{cases} q {\phi_S}_p = q \chi_S + E_g - \left( E_F - E_v \right) = q \chi_S + E_g - k_B T \ln{\frac{N_v}{N_A}} \\
q {\phi_S}_n = q \chi_S + \left( E_c - E_F \right) = q \chi_S + k_B T \ln{\frac{N_c}{N_D}} \end{cases}

17 La barriera di energia potenziale qV_{\text{bi}} all'equilibrio della giunzione coincide con la differenza dei lavori di estrazione:

qV_{\text{bi}} = q {\phi_S}_p -q {\phi_S}_n \Rightarrow \begin{cases} q V_{\text{bi}} = E_g - k_B T \ln{\frac{N_v N_c}{N_A N_D}} \\
{n_i}^2 = N_c N_v e^{- \frac{E_g}{k_B T}} \end{cases} \Rightarrow q V_{\text{bi}} = k_B T \left( \ln{\frac{N_c N_v}{{n_i}^2}} - \ln{\frac{N_v N_c}{N_A N_D}} \right) = k_B T \ln{\frac{N_A N_D}{{n_i}^2}}

Assenza di equilibrio in regime stazionario nel tempo[modifica]

18 Applicando dall'esterno una tensione V costante alla giunzione pn si determina una corrente I.

19 Nella giunzione pn si possono riconoscere 3 regioni, che sono in serie perché sono attraversate da una corrente I costante che:

  • entra dalla parte a potenziale più alto, senza venire dispersa perché si assume la condizione di contatto ohmico;
  • attraversa la regione neutra tra -w_p e -x_p, su cui vi è una caduta di potenziale V_1;
  • attraversa la regione svuotata tra -x_p e x_n, su cui vi è una caduta di potenziale V_2;
  • attraversa la regione neutra tra x_n e w_n, su cui vi è una caduta di potenziale V_3;
  • esce dalla parte a potenziale più basso, sempre in condizione di contatto ohmico, e per la legge di Kirchhoff il suo valore è pari al valore iniziale.

Le regioni neutre sono drogate in modo omogeneo → le conducibilità \sigma_n = qN_D \mu_n e \sigma_p = qN_A \mu_p sono costanti → le regioni neutre sono di tipo resistivo, e vengono chiamate resistenze parassite {R_p}_n e {R_p}_p:

R_p = \frac{1}{\sigma} \cdot \frac{w-x}{A}

Siccome le regioni sono in serie, la somma delle cadute di potenziale V_1, V_2 e V_3 coincide con la tensione applicata V:

\begin{cases} V=V_1+V_2+V_3 \\
R_p= {R_p}_n + {R_p}_p \end{cases} \Rightarrow V=R_pI+V_2

Per semplicità, si trascurerà la corrente che scorre nelle resistenze parassite, in modo che queste ultime non intervengano nella giunzione pn:

I \to 0 \Rightarrow \begin{cases} V \simeq V_2 \\ \mathcal{E} \to 0 \end{cases}

Polarizzazione inversa[modifica]

20 Applicando una tensione V[4] negativa, essa si sovrappone nella regione svuotata alla tensione di built-in V_{\text{bi}}:

\varphi \left( x_n \right) - \varphi \left( - x_p \right)  = V_{\text{bi}} -V=V_{\text{bi}} + \left| V \right| > V_{\text{bi}}

allargando i confini x_n e x_p della regione stessa e aumentando il campo elettrico \vec{\mathcal{E}} di trascinamento e la barriera di energia potenziale q \left( V_{\text{bi}} -V \right) in opposizione al flusso per diffusione dei portatori maggioritari. Prevale quindi la forza di trascinamento che agisce sui pochissimi portatori minoritari rimasti nella regione di svuotamento → si determina una corrente I negativa (cioè positiva verso il lato p) che, poiché il numero di portatori minoritari spostati è molto ridotto, è di intensità molto piccola e 32 indipendente dalla tensione V.

Polarizzazione diretta[modifica]

21 Applicando una tensione V positiva, essa si sovrappone nella regione svuotata alla tensione di built-in V_{\text{bi}}, restringendo i confini e riducendo la barriera di energia potenziale → viene favorito il flusso per diffusione dei portatori maggioritari → si determina una corrente I positiva (verso il lato n) che, vista la grande disponibilità di portatori maggioritari, 32 è fortemente crescente con la tensione V.

Contributi di trascinamento J_{\text{tr}} dei portatori minoritari[modifica]

23 Siccome nelle regioni neutre si suppone che il campo elettrico \vec{\mathcal{E}} sia trascurabile e che il livello di iniezione sia basso (n_p \ll p_p al lato p e p_n \ll n_n al lato n), 24 i contributi di trascinamento J_{\text{tr}} dei portatori minoritari si possono ignorare:

\begin{cases} x < -x_p : \; \mathcal{E} \left( x \right) \to 0 \wedge n_p \left( x \right) \ll p_p \left( x \right) \Rightarrow {J_{\text{tr}}}_n = qn_p \left( x \right) \mu_n \mathcal{E} (x) \to 0 \\
x>x_n : \; \mathcal{E} (x) \to 0 \wedge p_n (x) \ll n_n (x) \Rightarrow {J_{\text{tr}}}_p = qp_n (x) \mu_p \mathcal{E} (x) \to 0 \end{cases}

Contributi di diffusione J_{\text{diff}} dei portatori minoritari[modifica]

25 In equilibrio termodinamico:

\begin{cases} \begin{cases} {p_p}_0 \left( -x_p \right) = N_A \\
{n_p}_0 \left( -x_p \right) = \frac{{n_i}^2}{N_A} \end{cases} \\
\begin{cases} {n_n}_0 \left( x_n \right) = N_D \\
{p_n}_0 \left( x_n \right) = \frac{{n_i}^2}{N_D} \end{cases} \\
V_{\text{bi}} = V_T \ln{\frac{N_AN_D}{{n_i}^2}} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} V_{\text{bi}} = V_T \ln{\frac{{p_p}_0 \left( - x_p \right)}{{p_n}_0 \left( x_n \right)}} \\
V_{\text{bi}} = V_T \ln{\frac{{n_n}_0 \left( x_n \right)}{{n_p}_0 \left( -x_p \right)}} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} {p_n}_0 \left( x_n \right) = {p_p}_0 \left( -x_p \right) e^{- \frac{V_{\text{bi}}}{V_T}} \\
{n_p}_0 \left( -x_p \right) = {n_n}_0 \left( x_n \right) e^{- \frac{V_{\text{bi}}}{V_T}} \end{cases}

26 Supponendo un basso livello di iniezione:

\begin{cases} n_n \left( x_n \right) \approx {n_n}_0 \left( x_n \right) \\
p_p \left( -x_p \right) \approx {p_p}_0 \left( - x_p \right) \end{cases}

in assenza di equilibrio termodinamico vale la legge della giunzione:

e^{- \frac{V_{\text{bi}} -V}{V_T}} = e^{- \frac{V_{\text{bi}}}{V_T}} \cdot e^{\frac{V}{V_T}} \Rightarrow \begin{cases} p_n \left( x_n \right) \approx \left( {p_p}_0 \left( -x_p \right) e^{- \frac{V_{\text{bi}}}{V_T}} \right) \cdot e^{\frac{V}{V_T}} = {p_n}_0 \left( x_n \right) e^{\frac{V}{V_T}} = \frac{{n_i}^2}{N_D} e^{\frac{V}{V_T}} \\
n_p \left( - x_p \right) \approx \left( {n_n}_0 \left( x_n \right) e^{- \frac{V_{\text{bi}}}{V_T}} \right) \cdot e^{\frac{V}{V_T}} = {n_p}_0 \left( -x_p \right) e^{\frac{V}{V_T}} = \frac{{n_i}^2}{N_A} e^{\frac{V}{V_T}} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} p_n' \left( x_n \right) = p_n \left( x_n \right) - {p_n}_0 \left( x_n \right) = \frac{{n_i}^2}{N_D} \left( e^{ \frac{V}{V_T}} - 1 \right) \\
n_p' \left( -x_p \right) = n_p \left( -x_p \right) - {n_p}_0 \left( -x_p \right) = \frac{{n_i}^2}{N_A} \left( e^{\frac{V}{V_T}} -1 \right) \end{cases}

24 È possibile vedere ciascun lato della giunzione come un campione drogato uniformemente, in condizione di quasi neutralità, sottoposto a un'iniezione di basso livello di portatori minoritari all'estremità x= \pm x_{n,p} (vedi). Supponendo che i due lati w_p e w_n siano lunghi rispetto alla lunghezza di diffusione dei portatori minoritari L_{n,p} = \sqrt{D_{n,p}  \tau_{n,p}}, la distribuzione è esponenziale:

\begin{cases} p_n' (x) \approx p_n' \left( x_n \right) e^{- \frac{x-x_n}{L_p}} = \frac{{n_i}^2}{N_D} \left( e^{\frac{V}{V_T}} -1 \right) e^{- \frac{x-x_n}{L_p}} \\
n_p' \left( x \right) \approx n_p' \left( -x_p \right) e^{\frac{x- \left( -x_p \right)}{L_n}} = \frac{{n_i}^2}{N_A} \left( e^{\frac{V}{V_T}} -1 \right) e^{\frac{x- \left( -x_p \right)}{L_n}} \end{cases}

27 Ai confini -x_p e x_n della giunzione metallurgica:

  • polarizzazione inversa: si verifica uno svuotamento di portatori minoritari perché i loro eccessi sono negativi:
    V<0 \Rightarrow \begin{cases} p_n' \left( x_n \right) < 0 \\
n_p' \left( -x_p \right) < 0 \end{cases}
  • polarizzazione diretta: si verifica un'iniezione di portatori minoritari perché i loro eccessi sono positivi:
    V > 0 \Rightarrow \begin{cases} p_n' \left( x_n \right) > 0 \\
n_p' \left( - x_p \right) > 0 \end{cases}

28 I portatori minoritari danno perciò ai confini della giunzione i seguenti contributi di diffusione J_{\text{diff}}:

\begin{cases} {J_{\text{diff}}}_p \left( x_n \right) = qD_p {\left. \frac{d p_n'}{dx} \right|}_{x=x_n} \\
{J_{\text{diff}}}_n \left( -x_p \right) = q D_n {\left. \frac{d n_p'}{dx} \right|}_{x=-x_p} = q \frac{D_n}{L_n} \cdot \frac{{n_i}^2}{N_A} \left( e^{\frac{V}{V_T}} -1 \right) \end{cases}

Contributi J_{\text{diff}} + J_{\text{tr}} dei portatori maggioritari[modifica]

30 Al di fuori della regione svuotata

La densità di corrente totale J_{\text{tot}} è costante poiché la corrente I è costante lungo x → i contributi dei portatori maggioritari J_p (x) e J_n (x) si possono ricavare come i "complementari" dei contributi di diffusione {J_{\text{diff}}}_p e {J_{\text{diff}}}_n dei minoritari.

29 All'interno della regione svuotata

Trascurando:

  • le variazioni nel tempo delle concentrazioni di carica libera perché si suppone di lavorare in condizioni stazionarie:
    \begin{cases} \frac{\partial n}{\partial t} = 0 \\
\frac{\partial p}{\partial t} = 0 \end{cases}
  • il contributo dei fenomeni di generazione e ricombinazione nella regione svuotata:
    \begin{cases} U_n = \frac{n-n_0}{\tau_n} = 0 \\
U_p = \frac{p-p_0}{\tau_p} = 0 \end{cases}

le equazioni di continuità impongono che le densità di corrente J_p e J_n devono essere costanti:[5]

\begin{cases} \frac{\partial n}{\partial t} = + \frac{1}{q} \frac{\partial J_n}{\partial x} - U_n \\
\frac{\partial p}{\partial t} = - \frac{1}{q} \frac{\partial J_p}{\partial x} - U_p \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{\partial J_n}{\partial x} = 0 \\
\frac{\partial J_p}{\partial x} = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} J_n \left( x \right) = \text{cost.} \\
J_p (x) = \text{cost.} \end{cases}
Contributi portatori maggioritari giunzione p–n.png

30 Graficamente, si ottengono i contributi J_p e J_n dei portatori maggioritari ai confini -x_p e x_n della regione svuotata:

\begin{cases} J_p \left( -x_p \right) = {J_{\text{diff}}}_p \left( x_n \right) = q \frac{D_p}{L_p} \cdot \frac{{n_i}^2}{N_D} \left( e^{\frac{V}{V_T}} -1 \right) \\
J_n \left( x_n \right) = {J_{\text{diff}}}_n \left( -x_p \right) = q \frac{D_n}{L_n} \cdot \frac{{n_i}^2}{N_A} \left( e^{\frac{V}{V_T}} -1 \right) \end{cases}

Caratteristica statica I \left( V \right)[modifica]

31 All'interno della regione svuotata, la densità di corrente totale è costante:

J_{\text{tot}} = J_n \left( x \right) + J_p (x) = {J_{\text{diff}}}_n (x) + {J_{\text{tr}}}_n (x) + {J_{\text{diff}}}_p (x) + {J_{\text{tr}}}_p (x) = q \frac{D_n}{L_n} \cdot \frac{{n_i}^2}{N_A} \left( e^{\frac{V}{V_T}} -1 \right) + q \frac{D_p}{L_p} \cdot \frac{{n_i}^2}{N_D} \left( e^{\frac{V}{V_T}} -1 \right)

e la corrente I che scorre è espressa in funzione della tensione V nella caratteristica statica, 18 definita come la relazione tra la tensione V, applicata dall'esterno, e la corrente I in regime stazionario nel tempo, cioè con tensione a transitorio esaurito e con corrente stabilizzata a un valore costante:

I \left( V \right) = J_{\text{tot}} \cdot A = \left[ qA {n_i}^2 \left( \frac{D_n}{L_n N_A} + \frac{D_p}{L_p N_D} \right) \right] \left( e^{\frac{V}{V_T}} -1 \right) = I_s \left( e^{\frac{V}{V_T}} -1 \right)

dove I_s è la corrente di saturazione inversa della giunzione:

I_s = qA {n_i}^2 \left( \frac{D_n}{\xi_n N_A} + \frac{D_p}{\xi_p N_D} \right) = \begin{cases} qA {n_i}^2 \left( \frac{D_n}{L_n N_A} + \frac{D_p}{L_p N_D} \right) & w_{p,n} \gg L_{n,p} \text{ (lato lungo)} \\
qA {n_i}^2 \left( \frac{D_n}{w_p N_A} + \frac{D_p}{w_n N_D} \right) & w_{p,n} \ll L_{n,p} \text{ (lato corto)} \end{cases}

che essendo proporzionale a {{n_i}^2}{N_{A,D}} è molto piccola se il drogaggio è abbastanza grande.

32 A seconda del tipo di polarizzazione domina il termine esponenziale o la corrente I_s:

  • polarizzazione inversa: V<0 → domina la corrente I_s → la corrente I \simeq -I_s è molto piccola anche con una tensione V elevata;
  • polarizzazione diretta: V>0 → domina il termine esponenziale → la corrente I è fortemente crescente con la tensione V.

33 Se non si trascura il contributo dei fenomeni di generazione e ricombinazione, la caratteristica statica segue la legge:

I=I_s \left( e^{\frac{V}{\eta V_T}} -1 \right)

dove \eta è il fattore di idealità, e dipende dalla polarizzazione: \eta = \eta \left( V \right) (\eta = 1 \div 2). Per una giunzione al silicio:

  • \eta \approx 2 per basse tensioni dirette (V \leq 0,3 \; V) e in polarizzazione inversa;
  • \eta \approx 1 per tensioni dirette elevate.

Modello statico[modifica]

Giunzione p–n vs. diodo ideale.png

38 Si alimenti un diodo in DC con un generatore reale V_a di resistenza R (che includa la resistenza parassita R_p). La tensione V sul diodo e la corrente I devono soddisfare due vincoli:

  • la caratteristica statica I \left( V \right) (non lineare) del diodo;
  • la relazione lineare (detta retta di carico) dovuta alla legge di Kirchhoff:
    I= \frac{V_a - V}{R}

La soluzione \left( I_0 , V_0 \right) costituisce il punto di funzionamento della giunzione, in questo caso a riposo poiché la tensione del generatore è costante.

39-43 Si può usare un modello statico semplificato per la caratteristica statica:

  • diodo interdetto: in polarizzazione inversa (V < V_\gamma), il diodo è un circuito aperto → I=0;
  • diodo in conduzione: in polarizzazione diretta (I > 0), il diodo è un generatore ideale di tensione con una caduta di potenziale V_0 costante pari alla tensione di accensione V_\gamma \approx \tfrac{E_g}{2q} (per il silicio: V_\gamma = 0,5 \div 0,6 \; V).

32 Nel diodo ideale, i comportamenti della corrente I sono approssimati al circuito aperto e al cortocircuito: la conduzione è permessa solo se la corrente scorre dal catodo verso l'anodo.

Fenomeni di breakdown[modifica]

P–n junction breakdown.png

63 In polarizzazione inversa, esiste un valore negativo di tensione, detto di breakdown V_{BD}, in cui avviene un fenomeno di rottura. Dopo il breakdown, la corrente aumenta[6] in modo brusco, più dell'esponenziale, e la giunzione si comporta in modo simile a un generatore ideale di tensione; siccome sia la tensione sia la corrente sono molto elevate,[6] la potenza dissipata p=v \cdot i>0 è molto grande e può distruggere il dispositivo (in polarizzazione diretta invece la tensione non è così elevata).

Cause di breakdown[modifica]

Perforazione diretta[modifica]

Una tensione applicata troppo elevata[6] può allargare la regione svuotata fino ai confini della giunzione, annullando la barriera di energia potenziale in uno "scivolo" che favorisce il moto dei portatori maggioritari dai bordi al lato opposto → si determina una corrente molto elevata. Il fenomeno è favorito in diodi con lati sottili.

Effetto valanga[modifica]

64 L'allargamento della regione svuotata corrisponde a un aumento[6] del valore di picco del campo elettrico. Se la tensione applicata supera[6] la tensione di breakdown per effetto valanga caratteristica del materiale, il campo elettrico supera[6] il valore critico E_c a cui è associata, e i portatori liberi in BC durante il loro moto casuale nel cristallo, quando urtano tra di loro, acquisiscono energia cinetica sufficiente a causare la generazione da impatto di una coppia elettrone-lacuna → in BC all'elettrone se ne aggiunge un altro → aumentano gli urti → moltiplicazione a valanga dei portatori → brusco aumento della corrente inversa. Il fenomeno è favorito in giunzioni con lati poco drogati, perché a parità di campo elettrico hanno una regione svuotata più ampia. Al crescere della temperatura, la tensione di breakdown per effetto valanga aumenta.[6]

Effetto Zener[modifica]

65 Se la regione svuotata è molto sottile e se i livelli di energia E_v e E_c sono tanto degeneri che il livello E_c al lato n è superiore al livello E_v al lato p, un campo elettrico superiore[6] al valore critico può indurre il passaggio orizzontale per effetto tunnel di un elettrone dalla BV del lato p alla BC del lato n (viceversa per le lacune). Il fenomeno è favorito da giunzioni con lati molto drogati, quindi aventi una regione svuotata più sottile a parità di campo elettrico. Al crescere della temperatura, la tensione di breakdown per effetto Zener diminuisce.[6]

Diodi Zener[modifica]

70 I diodi Zener sono appositamente progettati per lavorare in condizioni di breakdown dovuto sia all'effetto Zener sia all'effetto valanga: poiché questi due tipi di breakdown presentano due comportamenti opposti in funzione delle variazioni di temperatura, essi si compensano a vicenda (stabilizzazione in temperatura). La condizione di breakdown è però limitata in tensione e corrente entro la Safe Operating Area (SOA) indicata dal produttore, altrimenti il dispositivo si può distruggere per effetto termico.

Equivalent circuit for Zener diode.png

71 Il circuito equivalente di un diodo Zener reale è costituito dalla serie:

  • generatore di tensione V_{Z0} =- V_{BD}, detta tensione nominale;
  • resistore di resistenza R_Z, detta resistenza parassita.

Nella regione di breakdown, la caratteristica statica I_r \left( V _r \right) = -I \left( -V \right) è approssimabile a una retta di pendenza \tfrac{1}{R_Z}; idealmente, la retta è verticale → la resistenza parassita R_Z è nulla. I diodi Zener trovano applicazione come stabilizzatori di tensione, perché se il carico è in parallelo a un diodo Zener quest'ultimo rende costante la tensione fornita al carico indipendentemente dal suo valore di carico.

Assenza di equilibrio con tensione applicata tempo-variante[modifica]

Capacità di svuotamento C_s \left( v \right)[modifica]

49 Nella regione svuotata vi è la carica fissa Q_f, costituita dalle coppie di portatori maggioritari ricombinate, a cui è associata la capacità di svuotamento C_s \left( v \right):

i_s \left( t \right) = \frac{dQ_f}{dt} = \frac{dQ_f}{dv} \frac{dv}{dt} = C_s \left( v \right) \frac{dv}{dt} \Rightarrow \begin{cases} C_s \left( v \right) = \frac{dQ_f}{dv} \\ Q_f = -qA \int_{-x_p \left( v \right)}^0 N_A dx = -q A N_A x_p \left( v \right) \\ x_p \left( v \right) = \sqrt{\frac{2 \epsilon}{q}} \cdot \frac{\sqrt{N_{\text{eq}}}}{N_A} \cdot \sqrt{V_{\text{bi}} - v \left( t \right)} \end{cases} \Rightarrow C_s \left( v \right) = A \sqrt{\frac{q \epsilon N_{\text{eq}}}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{V_{\text{bi}} - v \left( t \right)}}

Questo modello non vale nella regione di alta iniezione, cioè per v \left( t \right) \rightarrow V_{\text{bi}} o maggiore, perché in polarizzazione diretta una tensione v non sufficientemente bassa comporta una corrente i \left( v \right) molto elevata → la corrente che scorre nelle resistenze parassite R_p non è più trascurabile:

v \left( t \right) \to V_{\text{bi}} \Rightarrow \begin{cases} i \left( v \right) = I_s \left( e^{\frac{v \left( t \right)}{V_T}} - 1 \right) \to + \infty \Rightarrow x_p \propto \sqrt{V_{\text{bi}} - v \left( t \right) + R_p i \left( v \right)} \to + \infty \\
x_p \propto \sqrt{V_{\text{bi}} - v \left( t \right)} \to 0 \text{ secondo il modello (errato)} \end{cases}

Capacità di diffusione C_d \left( v \right)[modifica]

50 Nelle due regioni neutre vi è la carica mobile Q_m, costituita dai portatori minoritari in eccesso spinti dalla tensione di polarizzazione diretta (vd. diapositiva 27), a cui è associata la capacità di diffusione C_d \left( v \right), che è proporzionale alla corrente che scorre nella giunzione:

\begin{cases} i_d \left( t \right) = \frac{dQ_d}{dt} = \frac{dQ_d}{dv} \frac{dv}{dt} = C_d \left( v \right) \frac{dv}{dt} \\ Q_m = Q_n' = -qA \int_{-w_p}^{-x_p} n_p' \left( x \right) dx \approx -qA \int_{- \infty}^{- x_p} n_p' \left( x \right) dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} C_d \left( v \right) = \frac{dQ_m}{dv} = qA \frac{{n_i}^2}{V_T} \left( \frac{L_n}{N_A} + \frac{L_p}{N_D} \right) e^{\frac{v \left( t \right)}{V_T}} \\ i_{DC} \left( v \right) = I_s \left( e^{\frac{v \left( t \right)}{V_T}} -1 \right) \Rightarrow e^{\frac{v \left( t \right)}{V_T}} = \frac{I_{DC} \left( v \right)}{I_s} +1 \end{cases} \Rightarrow C_d \left( v \right) \propto e^{\frac{v \left( t \right)}{V_T}} \propto i_{DC} \left( v \right)

Modello dinamico di ampio segnale[modifica]

48 In una giunzione pn, quindi, sono presenti due cariche, la carica fissa Q_f \left( v \right) e la carica mobile Q_m \left( v \right),[7] dipendenti dalla tensione applicata v \left( t \right) e associate alle due capacità non lineari rispettivamente C_s \left( v \right) e C_d \left( v \right).

50 Prevale l'uno o l'altro tipo di carica a seconda del tipo di polarizzazione:

  • polarizzazione inversa: prevale la capacità di svuotamento C_s \left( v \right) (v \left( t \right) <0 → l'esponenziale di C_d \left( x \right) tende a zero);
  • polarizzazione diretta: prevale la capacità di diffusione C_d \left( v \right) (v \left( t \right) > 0 → l'esponenziale di C_d \left( x \right) tende a infinito).

51 Se la tensione di ingresso è tempo-variante, alla corrente di uscita ottenuta dalla caratteristica statica i_{DC} \left( v \right) (cioè la risposta istantanea con tensione di ingresso costante) si aggiungono degli effetti capacitivi di ritardo, determinati dalla presenza delle cariche fissa e mobile che dipendono da una tensione applicata tempo-variante v \left( t \right):

i \left( v \right) = i_{DC} \left( v \right) + C_s \left( v \right) \frac{dv}{dt} + C_d \left( v \right) \frac{dv}{dt}
Large-signal equivalent circuit for p–n junction.png

Il circuito equivalente di ampio segnale è costituito dal parallelo tra una resistore non lineare e due condensatori non lineari di capacità C_s \left( v \right) e C_d \left( v \right).

52 Modello statico

Se la tensione è costante nel tempo, gli effetti capacitivi scompaiono e vale la caratteristica statica. Quest'ultima può essere ulteriormente approssimata al modello statico semplificato del diodo.

Modello dinamico di piccolo segnale[modifica]

53 Spesso un dispositivo elettronico è alimentato da una tensione di alimentazione costante e riceve in ingresso un segnale tempo-variante → il segnale tempo-variante di uscita v \left( t \right) o i \left( t \right) può essere decomposto nella somma tra il contributo costante V_0 o I_0 e il contributo tempo-variante v_{ss} \left( t \right) o i_{ss}  \left( t \right):

\begin{cases} v \left( t \right) = V_0 + v_{ss} \left( t \right) \\ i \left( t \right) = I_0 + i_{ss} \left( t \right) \end{cases}

In condizione di piccolo segnale \left| v_{ss} \left( t \right) \right| \ll \left| V_0 \right|, le componenti della corrente i \left( v \right) possono essere sviluppate in serie di Taylor:

\begin{cases} i_{DC} \left( v \right) \approx i_{DC} \left( V_0 \right) + {\left. \frac{\partial i_{DC}}{\partial v} \right|}_{v=V_0} \cdot v_{ss} \left( t \right) = I_0 + {g_d}_0 \cdot v_{ss} \left( t \right) \\ Q_f \left( v \right) \approx Q_f \left( V_0 \right) + {\left. \frac{\partial Q_f}{\partial v} \right|}_{v=V_0} \cdot v_{ss} \left( t \right) = Q_f \left( V_0 \right) + {C_s}_0 \cdot v_{ss} \left( t \right) \\ Q_m \left( v \right) \approx Q_m \left( V_0 \right) + {\left. \frac{\partial Q_m}{\partial v} \right|}_{v=V_0} \cdot v_{ss} \left( t \right) = Q_m \left( V_0 \right) + {C_d}_0 \left( v \right) \cdot v_{ss} \left( t \right) \end{cases}

54 dove:

  • {g_d}_0 è la conduttanza differenziale:
    \begin{cases} {g_d}_0 = {\left. \frac{\partial i_{DC}}{\partial v} \right|}_{v=V_0} \\ i_{DC} \left( v \right) = I_s \left( e^{\frac{v}{\eta V_T}} -1 \right) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} {g_d}_0 = \frac{I_s}{\eta V_T} e^{\frac{V_0}{\eta V_T}} \\ e^{\frac{V_0}{\eta V_T}} = \frac{I_0}{I_s} +1 \end{cases} \Rightarrow {g_d}_0 = \frac{I_0 + I_s}{\eta V_T}
  • {C_s}_0 è la capacità differenziale di svuotamento:
    {C_s}_0 = {\left. \frac{\partial Q_f}{\partial v} \right|}_{v=V_0} = A \sqrt{\frac{q \epsilon N_{\text{eq}}}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{V_{\text{bi}} -V_0}}
  • {C_d}_0 è la capacità differenziale di diffusione:
    {C_d}_0 = {\frac{d Q_m}{dv}}_{v=V_0} = qA \frac{ {n_i}^2}{V_T} \left( \frac{L_n}{N_A} + \frac{L_p}{N_D} \right) e^{\frac{V_0}{V_T}}

55 La corrente i \left( v \right) è quindi linearizzabile nell'approssimazione di piccolo segnale in questo modo:

i \left( v \right) = I_0 + i_{ss} \left( t \right) = i_{DC} \left( v \right) + \left( \frac{Q_f \left( v \right)}{dt} \frac{dv}{dt} + \frac{d Q_m \left( v \right)}{dt} \frac{dv}{dt} \right) \approx I_0 + {g_d}_0 \cdot v_{ss} \left( t \right) + \left( {C_s}_0 \frac{d v_{ss}}{dt} + {C_d}_0 \frac{d v_{ss}}{dt} \right)

da cui si distingue la relazione tra le variazioni di segnale rispetto al punto di funzionamento a riposo I_0:

i_{ss} \left( t \right) = {g_d}_0 v_{ss} \left( t \right) + {C_s}_0 \frac{d v_{ss}}{dt} + {C_d}_0 \frac{d v_{ss}}{dt}
Small-signal equivalent circuit for p–n junction.png

che è descritta dal circuito equivalente di piccolo segnale (lineare), costituito dal parallelo di un resistore e due condensatori.

56 Nel circuito di piccolo segnale:

  • gli elementi lineari (R, L, C) rimangono invariati;
  • i generatori di tensione/corrente costante vengono spenti (tensione → cortocircuito, corrente → circuito aperto).

60 In polarizzazione diretta la capacità di svuotamento {C_s}_0 è trascurabile e prevale la capacità di diffusione {C_d}_0 grazie al termine esponenziale dominante. La conduttanza {g_d}_0 posta in parallelo, però, è proporzionale anch'essa allo stesso termine esponenziale → l'elemento capacitivo è in parallelo con una resistenza molto piccola → a capacità di diffusione elevate corrispondono elevate perdite di potenza dovute all'elemento resistivo. In polarizzazione inversa, invece, la conduttanza {g_d}_0 posta in parallelo con la capacità di svuotamento {C_s}_0 dominante è molto piccola → si verificano perdite di potenza inferiori.

Note[modifica]

  1. Si suppone che l'asse x sia orientato dalla regione drogata di tipo p a quella drogata n, con l'origine in corrispondenza della giunzione metallurgica.
  2. Tutte le energie definite nelle bande di energia (E_c, E_v, E_g, E_F, {E_F}_i) seguono l'andamento della generica U(x).
  3. 22 Le espressioni di x_n, x_p e x_d ricavate qui varranno anche in assenza di equilibrio termodinamico con \varphi \left( x_n \right) - \varphi \left( -x_p \right) = V_{\text{bi}} -V.
  4. Si ricorda che la tensione V del generatore si scarica tutta sulla tensione V_2 della regione svuotata perché si trascurano le regioni neutre.
  5. Inoltre, anche all'interno della regione svuotata la densità di corrente totale è costante.
  6. 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 in valore assoluto
  7. Esse sono state ricavate per brevità considerando solamente il lato p.
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