Sistemi e tecnologie elettroniche/Circuiti con amplificatori operazionali ideali

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Amplificatori reazionati con elementi reattivi[modifica]

2 L'analisi di un circuito amplificatore con elementi reattivi richiede di considerare le loro impedenze equivalenti.

3 Si può disegnare il diagramma di Bode dell'amplificazione (analisi in frequenza) o studiare la risposta al gradino (analisi nel tempo).

Sommatori[modifica]

25 Il sommatore è uno stadio amplificatore che restituisce in uscita la combinazione lineare di più ingressi V_1, V_2...:

V_u=AV_1+BV_2+CV_3+ \cdots

dove i coefficienti A, B... sono negativi o positivi a seconda se l'ingresso è collegato al morsetto invertente o non invertente rispettivamente. L'amplificatore differenziale è un caso particolare con A=-B e C=D= \cdots =0.

Sommatore (invertente)[modifica]

Inverting adder.png

26 Ogni generatore di tensione V_i fornisce la corrente I_i= \tfrac{V_i}{R_i} per il principio di sovrapposizione degli effetti:[1]

I_f=\frac{V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_2} + \cdots + \frac{V_n}{R_n} \Rightarrow V_u=-R_f I_f=- \frac{R_f}{R_1}  V_1- \frac{R_f}{R_2 } V_2- \cdots - \frac{R_f}{R_n}  V_n

Amplificatore differenziale[modifica]

Differential amplifier.png

28 Per il principio di sovrapposizione degli effetti:

  • spegnendo il generatore V_2: il parallelo R_2 || R_4 non è attraversato da corrente → amplificatore di tensione invertente:
{V_u}_1 = V_1 \left( - \frac{R_3}{R_1} \right)
  • spegnendo il generatore V_1, la tensione V_2 si ripartisce in V_a su R_4, e si combina con la reazione all'altro morsetto dell'amplificatore di tensione non invertente:
{V_u}_2 = V_a \left( 1 + \frac{R_3}{R_1} \right) = V_2 \frac{R_4}{R_2 + R_4} \left( 1+  \frac{R_3}{R_1} \right)

Ponendo l'uguaglianza del rapporto delle resistenze:

\begin{cases} V_u = {V_u}_1 + {V_u}_2 \\
\frac{R_3}{R_1} = \frac{R_4}{R_2} = A_d \end{cases} \Rightarrow V_u = V_1 \left( - A_d \right) + V_2 \frac{A_d}{\cancel{1 + A_d}} \left( \cancel{1 + A_d} \right) = A_d \left( - V_1 + V_2 \right) = A_d V_d

Sommatore generalizzato[modifica]

Generalized adder.png

41 Nel sommatore generalizzato le tensioni sono applicate a entrambi i terminali in ingresso:

\begin{cases} {V_u}_- = - R_f I_f = - R_f \sideset{}{_{i-}}\sum{\frac{V_i}{R_i}} \\
{V_u}_+ = A_V \cdot \sideset{}{_{i+}}\sum{{V_e}_i} = \left( 1  + \frac{R_f}{R_{1-} || R_{2-} || \cdots} \right) \cdot \sideset{}{_{i+,j+}}\sum{V_i \frac{R_e || {R_{\text{eq}}}_{j \neq i}}{R_e || {R_{\text{eq}}}_{j \neq i} + R_i }} \end{cases} \Rightarrow V_u = {V_u}_- + {V_u}_+
  • lato invertente: il contributo {V_u}_- è analogo a quello del sommatore invertente, poiché il parallelo delle resistenze al morsetto non invertente, attraversate da corrente nulla, non influisce sulla tensione in uscita;
  • lato non invertente: lasciando acceso solo il generatore V_{i+}, la sua tensione si ripartisce in {V_e}_{i+} sul parallelo {R_{\text{eq}}}_{j+ \neq i+} costituito dalle altre resistenze applicate al morsetto non invertente, quindi viene amplificata in {V_u}_+ secondo il modello dell'amplificatore non invertente.

Modo differenziale e modo comune[modifica]

Segnale differenziale e di modo comune[modifica]

29 Le tensioni V_1 e V_2 possono essere espresse come "scostamento" \tfrac{V_D}{2} dalla media V_C:

\begin{cases} V_C = \frac{V_1 + V_2}{2} \\
V_D = V_2 - V_1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} V_1 = V_C - \frac{V_D}{2} \\
V_2 = V_C + \frac{V_D}{2} \end{cases}

dove:

  • V_C è il segnale di modo comune, cioè la differenza di potenziale tra la media tra V_1 e V_2 e la massa;
  • V_D è il segnale differenziale, cioè la differenza di potenziale tra V_1 e V_2.

30 Un'informazione può essere trasferita in due modi:

  • lungo un filo singolo, l'informazione utile dipende solamente dal modo comune: siccome è semplicemente riferito a massa, qualsiasi disturbo (es. fulmine) che si presenta lungo la linea risulta nella perturbazione del segnale di uscita;
  • lungo due fili posti a una specifica distanza, l'informazione utile è codificata solamente nel segnale differenziale: la trasmissione nel modo differenziale è meno soggetta a disturbi, soprattutto su lunghe distanze, grazie al fatto che il segnale differenziale non è riferito a massa, e quindi i disturbi perturbano in egual misura i modi comuni dei singoli segnali ma non la differenza di potenziale tra i due.

Guadagno differenziale e di modo comune[modifica]

Common and differential modes in an amplifier.png

31 La tensione in uscita di un amplificatore si può esprimere in funzione dei modi comune e differenziale degli ingressi:

\begin{cases} V_u = A V_1 + B V_2 \\
V_1 = V_C - \frac{V_D}{2} , \, V_2 = V_C + \frac{V_D}{2} \\
A_C = A + B , \, A_D = \frac{B - A}{2} \end{cases} \Rightarrow V_u = A_C V_C + A_D V_D

dove A_C è il guadagno di modo comune e A_D è il guadagno differenziale.

33 Il rapporto di reiezione di modo comune (CMRR), definito come il rapporto tra il guadagno differenziale A_D e il guadagno di modo comune A_C, misura la tendenza a rigettare i segnali d'ingresso di modo comune a favore di quelli differenziali.

Amplificatore differenziale[modifica]

32 Un amplificatore differenziale ideale è caratterizzato da un guadagno di modo comune nullo:

A_C = 0 \Rightarrow \frac{A_D}{A_C} \rightarrow + \infty

L'obiettivo è massimizzare il guadagno A_D e minimizzare il guadagno A_C, in modo che il primo sia trascurabile rispetto al secondo:

A_C << A_D \Rightarrow \frac{A_D}{A_C} >> 1

Esistono tuttavia delle cause di errore che allontanano l'amplificatore differenziale reale dall'idealità, derivanti dal fatto che i valori nominali di resistenza hanno una certa incertezza:

  • 35 è difficile scegliere una combinazione di resistenze che garantisca la condizione ideale dell'uguaglianza dei rapporti:
    \frac{R_3}{R_1} = \frac{R_4}{R_2}
Differential amplifier with non-ideal generators.png
  • 37 le resistenze interne ai generatori reali in ingresso, se non sono uguali tra loro, convertono una parte del segnale di modo comune ({V_S}_1 = {V_S}_2 = V_S \Rightarrow V_D = 0) in segnale differenziale (V_1 \neq V_2 \Rightarrow V_D \neq 0), che viene così incorrettamente amplificato:
    \begin{cases} V_1 = V_S \frac{{R_i}_1}{{R_i}_1 + {R_g}_1} \\
V_2 = V_S \frac{{R_i}_2}{{R_i}_2 + {R_g}_2} \end{cases} \Rightarrow V_D = V_1 - V_2 = V_S \left( \frac{{R_i}_1}{{R_i}_1 + {R_g}_1} - \frac{{R_i}_2}{{R_i}_2 + {R_g}_2} \right) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} {R_g}_1 = {R_g}_2 \\
{R_i}_1 = {R_i}_2 \Rightarrow R_1 = R_2 + R_4 \end{cases}

Note[modifica]

  1. Il segnale di uscita si ottiene sommando le uscite parziali che si ottengono applicando uno solo dei generatori quando tutti gli altri sono spenti.
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