Teoria ed elaborazione dei segnali/Sistemi lineari

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3 Un sistema è un blocco che trasforma un segnale x \left( t \right) in un altro segnale y \left( t \right):

y \left( t \right) = \mathcal{T} \left\{ x \left( t \right) \right\}

È una relazione deterministica: a un certo segnale x \left( t \right) corrisponde sempre il segnale y \left( t \right).

Classificazione[modifica]

Sistemi lineari[modifica]

5 Un sistema è lineare se vale il principio di sovrapposizione degli effetti:

\mathcal{T} \left\{ a_1 x_1 \left( t \right) + a_2 x_2 \left( t \right) \right\} = a_1 \mathcal{T} \left\{ x_1 \left( t \right) \right\} + a_2 \mathcal{T} \left\{ x_2 \left( t \right) \right\}

La trasformata di Fourier è un sistema lineare.

Sistemi tempo-invarianti[modifica]

6 Un sistema è tempo-invariante se un ritardo sugli ingressi si traduce in un ritardo sulle uscite:

\mathcal{T} \left\{ x \left( t - \theta \right) \right\} = y \left( t - \theta \right)

Sistemi causali[modifica]

12 Un sistema è causale se l'uscita in un certo istante t_0 non dipende dagli ingressi negli istanti successivi, ma dipende solo dagli ingressi negli istanti precedenti e nell'istante corrente:

y \left( t_0 \right) = \mathcal{T} \left\{ \left. x \left( t \right) \right \vert_{- \infty}^{t_0} \right\} \quad \forall t_0

Sistemi senza memoria[modifica]

7 Un sistema è senza memoria se l'uscita y \left( t \right) dipende solo dal valore assunto dall'ingresso x \left( t \right) nel dato istante di tempo t_0:

y \left( t_0 \right)  = \mathcal{T} \left\{ x \left( t_0 \right) \right\} \quad \forall t_0

Sistemi reali[modifica]

15 Un sistema è reale se a un ingresso reale corrisponde un'uscita reale.

16 Un sistema è fisicamente realizzabile se è causale e reale.

Sistemi stabili[modifica]

17 Un sistema è stabile se a un ingresso limitato in ampiezza corrisponde un'uscita limitata in ampiezza, e per questo motivo viene detto Bounded Input Bounded Output (BIBO):

\forall x \left( t \right) : \, \left| x \left( t \right) \right| \in \R , \, \forall t \Rightarrow \left| y \left( t \right) \right| \in \R , \, \forall t

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)[modifica]

8 I sistemi lineari tempo-invarianti (LTI) possono essere descritti da un'unica funzione h \left( t \right) che è la risposta all'impulso:

y \left( t \right) = \mathcal{T} \left\{ x \left( t \right) \right\} = x \left( t \right) * h \left( t \right)

dove:

h \left( t \right) \triangleq \mathcal{T} \left\{ \delta \left( t \right) \right\}
Dimostrazione

Ogni segnale è ottenibile come combinazione lineare dell'insieme di delta:

x \left( t \right) = \int x \left( u \right) \delta \left( t - u \right) du

Perciò:

y \left( t \right) = \mathcal{T} \left\{ x \left( t \right) \right\} = \mathcal{T} \left\{ \int x \left( u \right) \delta \left( t - u \right) du \right\} =

Poiché il sistema \mathcal{T} è lineare:

= \int x \left( u \right) \mathcal{L} \left\{ \delta \left( t - u \right) \right\} du =

Poiché il sistema \mathcal{T} è tempo-invariante:

= \int x \left( u \right) h \left( t - u \right) du = x \left( t \right) * h \left( t \right)

9 La trasformata di Fourier dell'uscita di un sistema LTI vale:

Y \left( f \right) = \mathcal{F} \left\{ \mathcal{T} \left\{ x \left( t \right) \right\} \right\} = H \left( f \right) X \left( f \right)

dove H \left( f \right) è detta funzione di trasferimento:

H \left( f \right) = \frac{Y \left( f \right)}{X \left( f \right)}

10 I sistemi LTI non alterano la frequenza di un segnale sinusoidale posto all'ingresso, ma solo la fase e l'ampiezza → le sinusoidi sono autofunzioni di un sistema LTI: l'uscita di una sinusoide è la sinusoide stessa moltiplicata per una costante (complessa → modulo e fase).

11 Dimostrazione

Considerando la sinusoide complessa x \left( t \right) = e^{j 2 \pi f_0 t}:

Y \left( f \right) = X \left( f \right) H \left( f \right) = \delta \left( f - f_0 \right) H \left( f \right) =

Per la proprietà della delta di Dirac:

= \delta \left( f - f_0 \right) H \left( f_0 \right)

Antitrasformando:

y \left( t \right) = H \left( f_0 \right) e^{j 2 \pi f_0 t} = x \left( t \right) H \left( f_0 \right)

Se h \left( t \right) è una funzione reale, vale la simmetria hermitiana:

H \left(  - f \right) = H^* \left(  - f \right)

Se x \left( t \right) = \cos{\left( 2 \pi f_0 t \right)}:

Y \left( f \right) = X \left( f \right) H \left( f \right) = \frac{1}{2} \left[ \delta \left( f - f_0 \right) + \delta \left( f + f_0 \right) \right] H \left( f \right) = \frac{1}{2} \left[ \delta \left( f - f_0 \right) H \left( f_0 \right) + \delta \left( f + f_0 \right) H \left( - f_0 \right) \right]
y \left( t \right) = \frac{1}{2} \left[ H \left( f_0 \right) e^{j 2 \pi f_0 t} + H \left( - f_0 \right) e^{- j 2 \pi f_0 t} \right] =

Se h \left( t \right) \in \R:

= \Re{\left\{ H \left( f_0 \right) e^{j2 \pi f_0 t} \right\}} = \left| H \left( f_0 \right) \right| \cos{\left[ 2 \pi f_0 t + \arg{X \left( f_0 \right)} \right]}

Se x \left( t \right) = \sin{\left( 2 \pi f_0 t \right)}:

Y \left( f \right) = X \left( f \right) H \left( f \right) = \frac{1}{2j} \left[ \delta \left( f - f_0 \right) - \delta \left( f + f_0 \right) \right] H \left( f \right) = \frac{1}{2j} \left[ \delta \left( f - f_0 \right) H \left( f_0 \right) - \delta \left( f + f_0 \right) H \left( - f_0 \right) \right]
y \left( t \right) = \frac{1}{2j} \left[ H \left( f_0 \right) e^{j 2 \pi f_0 t} - H \left( - f_0 \right) e^{- j 2 \pi f_0 t} \right] =

Se h \left( t \right) \in \R:

= \Im{\left\{ H \left( f_0 \right) e^{j2 \pi f_0 t} \right\}} = \left| H \left( f_0 \right) \right| \sin{\left[ 2 \pi f_0 t + \arg{X \left( f_0 \right)} \right]}

Sistemi LTI causali[modifica]

13 La risposta all'impulso h \left( t \right) di un sistema LTI causale è nulla per t < 0:

h \left( t \right) = u \left( t \right) h \left( t \right)
Dimostrazione
y \left( t \right) = x \left( t \right) * h \left( t \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} y \left( \tau \right) h \left( t - \tau \right) d \tau =

Siccome il sistema è causale:

= \int_{- \infty}^{t} y \left( \tau \right) h \left( t - \tau \right) d \tau = \int_{- \infty}^{+ \infty} x \left( \tau \right) u \left( t - \tau \right) h \left( t - \tau \right) d \tau

Sistemi LTI reali[modifica]

15 La risposta all'impulso h \left( t \right) di un sistema LTI reale è reale, e la funzione di trasferimento H \left( f \right) deve avere:

  • parte reale pari;
  • parte immaginaria dispari;
  • modulo pari;
  • fase dispari.

Sistemi LTI stabili[modifica]

18 Un sistema LTI è stabile se e solo se la risposta all'impulso h \left( t \right) è modulo integrabile:

\text{stabile} \, \Leftrightarrow \int \left| h \left( t \right) \right| dt \in \R \Rightarrow \left| H \left( f \right) \right| \in \R
Dimostrazione
Condizione sufficiente
\text{stabile} \, \Leftarrow \int \left| h \left( t \right) \right| dt \in \R
\left| y  \left( t \right) \right| = \left| \int x \left( t - \tau \right) h \left( \tau \right) d \tau \right| \leq \int \left| x \left( x - \tau \right) \right| \left| h \left( \tau \right) \right| d \tau \leq \int \max{\left| x \left( t - \tau \right) \right|} \left| h \left( \tau \right) \right| d \tau = \max{\left| x \left( t - \tau \right) \right|} \int \left| h \left( \tau \right) \right| d \tau
\int \left| h \left( \tau \right) \right| d \tau \in \R \Rightarrow \left| y  \left( t \right) \right| \in \R
Condizione necessaria
\text{stabile} \, \Rightarrow \int \left| h \left( t \right) \right| dt \in \R

Consideriamo una funzione x \left( t \right):

x \left( t \right) = e^{-j \arg{h \left( - t \right)}}

che è di ampiezza limitata:

\left| x \left( t \right) \right| = 1 \; \forall t
y \left( 0 \right) = \int  \left. x \left( t - \tau \right) \right \vert_{t = 0} h \left( \tau \right) d \tau = \int e^{-j \arg{h \left( \tau \right)}} \left| h \left( \tau \right) \right| e^{j \arg{h \left( \tau \right)}} d \tau = \int \left| h \left( \tau \right) \right| d \tau

Esempi[modifica]

19 Filtro RC con una porta di ingresso
Low-pass RC cell.png
v_2 \left( t \right) = R i \left( t \right) + v_1 \left( t \right) = R C \frac{d v_1 \left( t \right)}{dt} + v_1 \left( t \right)
V_2 \left( f \right) = \left( 1 + j 2 \pi f RC \right) V_1 \left( f \right) \Rightarrow H \left( f \right) = \frac{1}{1 + j 2 \pi f RC}
20 Canale radio con eco

Un segnale radio quando viene trasmesso si propaga in tutte le direzioni, e viene riflesso dagli oggetti fisici dell'ambiente, detti scatterer. Gli echi arrivano perciò al ricevitore ognuno con un certo ritardo {\tau}_i e una certa amplificazione/attenuazione {\alpha}_i. Trasmettendo un impulso \delta, viene ricevuto un segnale con eco h \left( t \right):

h \left( t \right) = \sum_{i = 1}^P {\alpha}_i \delta \left( t -  {\tau}_i \right)

dove P è il numero di segnali eco che arrivano al ricevitore.

21 La sua trasformata H \left( f \right) vale:

H \left( f \right) = \sum_{i = 1}^P {\alpha}_i e^{-j2 \pi f {\tau}_i}

Si dimostra che il suo modulo al quadrato vale:

{\left| H \left( f \right) \right|}^2 = \sum_{i  =1}^P {\left| {\alpha}_i \right|}^2 + \sum_{i = 1}^P \sum_{\overset{\scriptstyle k=1} {\scriptstyle k>1}}^P 2 {\alpha}_i {\alpha}_k \cos{\left( 2 \pi f \Delta {\tau}_{ik}\right)}

Se P = 1, il canale non è selettivo in frequenza, cioè tutte le sinusoidi vengono moltiplicate per la stessa ampiezza:

\left| H \left( f \right) \right| = \left| {\alpha}_1 \right|

22 Se P = 2 si introduce la selettività in frequenza:

{\left| H \left( f \right) \right|}^2 = {\left| {\alpha}_1 \right|}^2 + {\left| {\alpha}_2 \right|}^2 + 2 {\alpha}_1 {\alpha}_2 \cos{\left( 2 \pi f \Delta {\tau}_{12}\right)}
Radio signal with echo frequency selectivity.png
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