Teoria ed elaborazione dei segnali/Sistemi lineari

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3 Un sistema è un blocco che trasforma un segnale in un altro segnale :

È una relazione deterministica: a un certo segnale corrisponde sempre il segnale .

Classificazione[modifica]

Sistemi lineari[modifica]

5 Un sistema è lineare se vale il principio di sovrapposizione degli effetti:

La trasformata di Fourier è un sistema lineare.

Sistemi tempo-invarianti[modifica]

6 Un sistema è tempo-invariante se un ritardo sugli ingressi si traduce in un ritardo sulle uscite:

Sistemi causali[modifica]

12 Un sistema è causale se l'uscita in un certo istante non dipende dagli ingressi negli istanti successivi, ma dipende solo dagli ingressi negli istanti precedenti e nell'istante corrente:

Sistemi senza memoria[modifica]

7 Un sistema è senza memoria se l'uscita dipende solo dal valore assunto dall'ingresso nel dato istante di tempo :

Sistemi reali[modifica]

15 Un sistema è reale se a un ingresso reale corrisponde un'uscita reale.

16 Un sistema è fisicamente realizzabile se è causale e reale.

Sistemi stabili[modifica]

17 Un sistema è stabile se a un ingresso limitato in ampiezza corrisponde un'uscita limitata in ampiezza, e per questo motivo viene detto Bounded Input Bounded Output (BIBO):

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)[modifica]

8 I sistemi lineari tempo-invarianti (LTI) possono essere descritti da un'unica funzione che è la risposta all'impulso:

dove:

Dimostrazione

Ogni segnale è ottenibile come combinazione lineare dell'insieme di delta:

Perciò:

Poiché il sistema è lineare:

Poiché il sistema è tempo-invariante:

9 La trasformata di Fourier dell'uscita di un sistema LTI vale:

dove è detta funzione di trasferimento:

10 I sistemi LTI non alterano la frequenza di un segnale sinusoidale posto all'ingresso, ma solo la fase e l'ampiezza → le sinusoidi sono autofunzioni di un sistema LTI: l'uscita di una sinusoide è la sinusoide stessa moltiplicata per una costante (complessa → modulo e fase).

11 Dimostrazione

Considerando la sinusoide complessa :

Per la proprietà della delta di Dirac:

Antitrasformando:

Se è una funzione reale, vale la simmetria hermitiana:


Se :

Se :


Se :

Se :

Sistemi LTI causali[modifica]

13 La risposta all'impulso di un sistema LTI causale è nulla per :

Dimostrazione

Siccome il sistema è causale:

Sistemi LTI reali[modifica]

15 La risposta all'impulso di un sistema LTI reale è reale, e la funzione di trasferimento deve avere:

  • parte reale pari;
  • parte immaginaria dispari;
  • modulo pari;
  • fase dispari.

Sistemi LTI stabili[modifica]

18 Un sistema LTI è stabile se e solo se la risposta all'impulso è modulo integrabile:

Dimostrazione
Condizione sufficiente
Condizione necessaria

Consideriamo una funzione :

che è di ampiezza limitata:

Esempi[modifica]

19 Filtro RC con una porta di ingresso
Low-pass RC cell.png
20 Canale radio con eco

Un segnale radio quando viene trasmesso si propaga in tutte le direzioni, e viene riflesso dagli oggetti fisici dell'ambiente, detti scatterer. Gli echi arrivano perciò al ricevitore ognuno con un certo ritardo e una certa amplificazione/attenuazione . Trasmettendo un impulso , viene ricevuto un segnale con eco :

dove è il numero di segnali eco che arrivano al ricevitore.

21 La sua trasformata vale:

Si dimostra che il suo modulo al quadrato vale:

Se , il canale non è selettivo in frequenza, cioè tutte le sinusoidi vengono moltiplicate per la stessa ampiezza:

22 Se si introduce la selettività in frequenza:

Radio signal with echo frequency selectivity.png
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