Controlli automatici/Stabilità interna di sistemi dinamici LTI

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Stabilità interna di sistemi LTI a tempo continuo[modifica]

6 La legge secondo cui evolve la perturbazione \delta x (t) dello stato di un sistema LTI a tempo continuo, con ingresso \tilde u (t) costante, continua a valere al variare dello stato iniziale nominale {\tilde x}_0, e quindi della perturbazione \delta x_0 dello stato iniziale:

\dot x \left( t \right) = A x \left( t \right) + B \tilde u \left( t \right) \Rightarrow \dot{\delta x} \left( t \right) = A \delta x (t) \Rightarrow \delta x (t) = x (t) - \tilde x (t) = e^{At} \delta x_0 , \quad \forall t \geq 0

perciò la proprietà di stabilità riguarda l'intero sistema e non i singoli movimenti.

7 La stabilità del sistema dipende dagli autovalori \lambda_i della matrice di stato A. Un modo naturale può essere:

  • esponenzialmente convergente se \Re{\left( \lambda_i \right)} <0;
  • limitato se \Re{\left( \lambda_i \right)} =0 e \mu_i' = 1;
  • polinomialmente divergente se \Re{\left( \lambda_i \right)} =0 e \mu_i' > 1;
  • esponenzialmente divergente se \Re{\left( \lambda_i \right)} >0.

10 L'assenza di autovalori nulli garantisce l'invertibilità della matrice A:

\det{A} = \prod_{i=1}^n \lambda_i \neq 0

e quindi, nel caso l'ingresso nominale sia pari all'ingresso di equilibrio \bar u costante, esiste un solo punto di equilibrio isolato:

\bar x = - A^{-1} B \bar u

Criteri di stabilità[modifica]

Instabilità[modifica]

Un sistema LTI a tempo continuo è instabile se e solo se almeno un modo naturale è divergente (polinomialmente o esponenzialmente).

11 Criterio di instabilità

Un sistema LTI a tempo continuo è instabile se almeno un modo naturale è esponenzialmente divergente, cioè se almeno un autovalore \lambda_i ha parte reale positiva:

\exists i : \; \Re{\left( \lambda_i \right)} > 0 \Rightarrow \text{ sistema instabile}

Stabilità semplice[modifica]

Un sistema LTI a tempo continuo è semplicemente stabile se e solo se nessuno dei modi naturali è divergente e almeno un modo naturale è limitato con \mu' = 1.

12 Criterio di stabilità semplice

Un sistema LTI a tempo continuo è semplicemente stabile se nessuno dei modi naturali è divergente e almeno un modo naturale è limitato con \mu = \mu' = 1:[1]

\begin{cases} \forall i : \; \Re{\left( \lambda_i \right)} \leq 0 \\ \exists k : \; \Re{\left( \lambda_k \right)} = 0 \\ \forall k : \; \Re{\left( \lambda_k \right)} = 0 \longrightarrow \mu_k = 1 \end{cases} \Rightarrow \text{ sistema semplicemente stabile}

Stabilità asintotica[modifica]

Un sistema LTI a tempo continuo è asintoticamente stabile se e solo se tutti i modi naturali sono convergenti (esponenzialmente).

10 Criterio di stabilità asintotica

Un sistema LTI a tempo continuo è asintoticamente stabile se e solo se tutti i modi naturali sono esponenzialmente convergenti, cioè se e solo se tutti gli autovalori \lambda_i hanno parti reali negative:

\forall i : \; \Re{\left( \lambda_i \right)} < 0 \Leftrightarrow \text{ sistema asintoticamente stabile}

Un sistema LTI asintoticamente stabile è sempre globalmente asintoticamente stabile, perché la perturbazione evolve secondo una legge che vale per qualsiasi perturbazione iniziale \delta x_0.

Caso critico[modifica]

13 Dato un sistema LTI a tempo continuo, se:

\begin{cases} \forall i: \; \Re{\left( \lambda_i \right)} \leq 0 \\ \exists k : \; \Re{\left( \lambda_k \right)} = 0 , \; \mu_k  > 1 \end{cases}

allora il sistema può risultare semplicemente stabile o instabile, a seconda se siano presenti dei modi polinomialmente divergenti.

Stabilità interna di sistemi LTI a tempo discreto[modifica]

20 La legge secondo cui evolve la perturbazione \delta x (k) dello stato di un sistema LTI a tempo discreto, con ingresso \tilde u (k) costante, continua a valere al variare dello stato iniziale nominale {\tilde x}_0, e quindi della perturbazione \delta x_0 dello stato iniziale:

x \left( k+1 \right) = A x (k) + B u \tilde (k) \Rightarrow \delta x \left( k+1 \right) = A \delta x (k) \Rightarrow \delta x (k) = x (k) - \tilde x (k) = A^k \delta x_0 , \quad \forall k \geq 0

perciò la proprietà di stabilità riguarda l'intero sistema e non i singoli movimenti.

21 La stabilità del sistema dipende dagli autovalori \lambda_i della matrice di stato A. Un modo naturale può essere:

  • geometricamente convergente se \left| \lambda_i \right| < 1;
  • limitato se \left| \lambda_i \right| =1 e \mu_i' = 1;
  • polinomialmente divergente se \left| \lambda_i \right| =1 e \mu_i' > 1;
  • geometricamente divergente se \left| \lambda_i \right| >1.

24 L'assenza di autovalori diversi da 1 garantisce l'invertibilità della matrice I-A:

\det{\left( I-A \right)} = \prod_{i=1}^n \left( 1- \lambda_i \right) \neq 0

e quindi, nel caso l'ingresso nominale sia pari all'ingresso di equilibrio \bar u costante, esiste un solo punto di equilibrio isolato:

\bar x = {\left( I-A \right)}^{-1} B \bar u

Criteri di stabilità[modifica]

Instabilità[modifica]

Un sistema LTI a tempo discreto è instabile se e solo se almeno un modo naturale è divergente (polinomialmente o geometricamente).

25 Criterio di instabilità

Un sistema LTI a tempo discreto è instabile se almeno un modo naturale è geometricamente divergente, cioè se almeno un autovalore \lambda_i ha modulo maggiore di 1:

\exists i : \; \left| \lambda_i \right| > 1 \Rightarrow \text{ sistema instabile}

Stabilità semplice[modifica]

Un sistema LTI a tempo discreto è semplicemente stabile se e solo se nessuno dei modi naturali è divergente e almeno un modo naturale è limitato con \mu' = 1.

26 Criterio di stabilità semplice

Un sistema LTI a tempo discreto è semplicemente stabile se nessuno dei modi naturali è divergente e almeno un modo naturale è limitato con \mu = \mu' = 1:[1]

\begin{cases} \forall i : \; \left| \lambda_i \right| \leq 1 \\ \exists k : \; \left| \lambda_k \right| = 1 \\ \forall k : \; \left| \lambda_k \right| = 1 \longrightarrow \mu_k = 1 \end{cases}

Stabilità asintotica[modifica]

Un sistema LTI a tempo discreto è asintoticamente stabile se e solo se tutti i modi naturali sono convergenti (geometricamente).

24 Criterio di stabilità asintotica

Un sistema LTI a tempo discreto è asintoticamente stabile se e solo se tutti i modi naturali sono geometricamente convergenti, cioè se e solo se tutti gli autovalori \lambda_i hanno moduli minori di 1:

\forall i : \; \left| \lambda_i \right| < 1 \Leftrightarrow \text{ sistema asintoticamente stabile}

Un sistema LTI asintoticamente stabile è sempre globalmente asintoticamente stabile, perché la perturbazione evolve secondo una legge che vale per qualsiasi perturbazione iniziale \delta x_0.

Caso critico[modifica]

27 Dato un sistema LTI a tempo discreto, se:

\begin{cases} \forall i: \; \left| \lambda_i \right| \leq 0 \\ \exists k : \; \left| \lambda_k \right| = 1 , \; \mu_k  > 1 \end{cases}

allora il sistema può risultare semplicemente stabile o instabile, a seconda se siano presenti dei modi polinomialmente divergenti.

Note[modifica]

  1. 1,0 1,1 Si ricorda: 1 \leq \mu' \leq \mu.
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