Controlli automatici/Stabilità interna di sistemi dinamici

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4 Lo studio della stabilità interna riguarda gli effetti sul movimento dello stato provocati da perturbazioni dello stato iniziale (l'ingresso rimane costante).

7 Considerando due evoluzioni temporali dello stato di un sistema dinamico stazionario:

  • movimento nominale dello stato \tilde x ( \bullet ): ingresso nominale \tilde u ( \bullet ), stato iniziale nominale {\tilde x}_0;
  • movimento perturbato dello stato x ( \bullet ): ingresso u ( \bullet ) = \tilde u ( \bullet ), stato iniziale x_0 \neq {\tilde x}_0.

la perturbazione \delta x ( \bullet ) dello stato del sistema è la differenza tra i due movimenti, ed è tanto più piccola quanto meno il movimento perturbato si discosta dal movimento nominale:

\delta x ( \bullet ) = x ( \bullet ) - \tilde x (\bullet ) \in {\R}^n

5 Un sistema è stabile se il suo movimento non si discosta troppo dal movimento nominale di riferimento a fronte di una piccola perturbazione dello stato iniziale.

Classificazione in base alla stabilità interna[modifica]

29 Classificazione dei movimenti nominali in base alla stabilità interna

8 A fronte di una perturbazione \delta x_0 = x_0 - {\tilde x}_0 dello stato iniziale, il movimento nominale \tilde x ( \bullet ) è:

  • 20 instabile se la perturbazione \delta x( \bullet ) dello stato non resta limitata nel tempo (tipicamente diverge):
    \forall \gamma > 0 : \; \exists \varepsilon > 0 \longrightarrow \exists x_0 : \; \left\| \delta x_0 \right\| \leq \gamma \Longrightarrow \exists t \geq 0 : \; \left\| \delta x \left( t \right) \right\| > \varepsilon
  • 14 stabile se la perturbazione \delta x( \bullet ) dello stato resta limitata nel tempo:
    • 28 semplicemente stabile se la perturbazione \delta x( \bullet ) dello stato resta limitata, ma non tende a 0 asintoticamente:
      \forall \varepsilon > 0 : \; \exists \gamma > 0 \longrightarrow \forall x_0 : \; \left\| \delta x_0 \right\| \leq \gamma \Longrightarrow \begin{cases} \left\| \delta x \left( t \right) \right\| \leq \varepsilon , \quad \forall t \geq 0 \\ \lim_{t \to + \infty} \left\| \delta x( t) \right\| = 0 \end{cases}
    • 26 asintoticamente stabile se la perturbazione \delta x( \bullet ) dello stato resta limitata, e tende a 0 asintoticamente:
      \forall \varepsilon > 0 : \; \exists \gamma > 0 \longrightarrow \forall x_0 : \; \left\| \delta x_0 \right\| \leq \gamma \Longrightarrow \begin{cases} \left\| \delta x \left( t \right) \right\| \leq \varepsilon , \quad \forall t \geq 0 \\ \lim_{t \to + \infty} \left\| \delta x( t) \right\| \neq 0 \end{cases}
    • 27 globalmente asintoticamente stabile se il movimento nominale \tilde x ( \bullet ) è asintoticamente stabile per qualsiasi perturbazione iniziale:
      \forall \varepsilon > 0 : \; \exists \gamma > 0 \longrightarrow \forall x_0 : \; \left\| \delta x_0 \right\| \leq \gamma \Longrightarrow \begin{cases} \left\| \delta x \left( t \right) \right\| \leq \varepsilon , \quad \forall t \geq 0 \\ \lim_{t \to + \infty} \left\| \delta x( t) \right\| \neq 0 , \quad \forall \delta x_0 \in X \end{cases}

Stabilità dell'equilibrio[modifica]

35 Se il movimento nominale considerato è un punto di equilibrio \left( \bar x , \bar u \right), si studia la stabilità dell'equilibrio a fronte di perturbazioni dello stato iniziale (l'ingresso rimane pari all'ingresso di equilibrio \bar u costante). Ad ogni stato di equilibrio asintoticamente stabile è associata una regione di attrazione o regione di asintotica stabilità: ogni stato iniziale che appartiene alla regione di attrazione dà origine a un movimento perturbato che è asintoticamente stabile.

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