Controlli automatici/Stabilità dell'equilibrio di sistemi dinamici non lineari per linearizzazione

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Stabilità dell'equilibrio di sistemi dinamici non lineari a tempo continuo[modifica]

4 Considerando due evoluzioni temporali dello stato di un sistema dinamico stazionario a tempo continuo non lineare:

  • movimento nominale dello stato \tilde x (t) = \bar x: ingresso nominale \tilde u (t) = \bar u, stato iniziale nominale \tilde x \left( t_0 = 0 \right) = \bar x;
  • movimento perturbato dello stato x ( t ): ingresso \tilde u ( t ) = \bar u, stato iniziale x_0 \neq \bar x.

6 la perturbazione \delta x ( t ) è in generale difficile da trovare:

\dot{\delta x} (t) = f \left( \bar x + \delta x (t) , \bar u \right) , \quad \delta x_0 = \delta x \left( t_0 = 0 \right) = x_0 - \bar x

e inoltre dipende dal particolare punto di equilibrio \left( \bar x , \bar u \right) considerato → la proprietà di stabilità è locale, ovvero vale solo nell'intorno del punto di equilibrio considerato.

7 Il metodo indiretto di Lyapunov (anche noto come metodo di linearizzazione) permette di risolvere in molti casi questa equazione differenziale non lineare.

8 Approssimando allo sviluppo di Taylor del primo ordine, lo studio della stabilità dell'equilibrio di un sistema non lineare può essere ricondotto allo studio del seguente sistema LTI:

\dot{\delta x} (t) = A \delta x (t) , \quad \delta x_0 = x_0 - \bar x , \; A= {\left. \frac{\partial f \left( x, \bar u \right)}{\partial x} \right|}_{x= \bar x}

Criteri di stabilità[modifica]

10 Stabilità asintotica

Condizione soltanto sufficiente affinché risulti asintoticamente stabile nell'intorno dell'equilibrio I_{\bar x} è che:

\forall i : \; \Re{\left( \lambda_i \left( A \right) \right)} < 0
11 Instabilità

Condizione soltanto sufficiente affinché risulti instabile nell'intorno dell'equilibrio I_{\bar x} è che:

\exists i : \; \Re{\left( \lambda_i \left( A \right) \right)} > 0
12 Caso critico

Non si può concludere nulla sulla stabilità locale se:

\begin{cases} \forall i : \; \Re{\left( \lambda_i \left( A \right) \right)} \leq 0 \\ \exists k : \; \Re{\left( \lambda_k \left( A \right) \right)} = 0 \end{cases}

Stabilità dell'equilibrio di sistemi dinamici non lineari a tempo discreto[modifica]

17 Considerando due evoluzioni temporali dello stato di un sistema dinamico stazionario a tempo discreto non lineare:

  • movimento nominale dello stato \tilde x (k) = \bar x: ingresso nominale \tilde u (k) = \bar u, stato iniziale nominale \tilde x \left( k_0 = 0 \right) = \bar x;
  • movimento perturbato dello stato x ( k ): ingresso \tilde u ( k ) = \bar u, stato iniziale x_0 \neq \bar x.

19 la perturbazione \delta x ( k ) è in generale difficile da trovare:

\delta x (k+1) = f \left( \bar x + \delta x (k) , \bar u \right) - \bar x , \quad \delta x_0 = \delta x \left( k_0 = 0 \right) = x_0 - \bar x

e inoltre dipende dal particolare punto di equilibrio \left( \bar x , \bar u \right) considerato → la proprietà di stabilità è locale, ovvero vale solo nell'intorno del punto di equilibrio considerato.

20 Il metodo indiretto di Lyapunov (anche noto come metodo di linearizzazione) permette di risolvere in molti casi questa equazione alle differenze non lineare.

21 Approssimando allo sviluppo di Taylor del primo ordine, lo studio della stabilità dell'equilibrio di un sistema non lineare può essere ricondotto allo studio del seguente sistema LTI:

\delta x (k+1) = A \delta x (k) , \quad \delta x_0 = x_0 - \bar x , \; A= {\left. \frac{\partial f \left( x, \bar u \right)}{\partial x} \right|}_{x= \bar x}

Criteri di stabilità[modifica]

23 Stabilità asintotica

Condizione soltanto sufficiente affinché risulti asintoticamente stabile nell'intorno dell'equilibrio I_{\bar x} è che:

\forall i : \; \left| \lambda_i \left( A \right) \right| < 1
24 Instabilità

Condizione soltanto sufficiente affinché risulti instabile nell'intorno dell'equilibrio I_{\bar x} è che:

\exists i : \; \left| \lambda_i \left( A \right) \right| > 1
25 Caso critico

Non si può concludere nulla sulla stabilità locale se:

\begin{cases} \forall i : \; \left| \lambda_i \left( A \right) \right| \leq 1 \\ \exists k : \; \left| \lambda_i \left( A \right) \right| = 1 \end{cases}
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