Controlli automatici/Risposta transitoria e in frequenza

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Analisi della dipendenza tra catena aperta e catena chiusa[modifica | modifica sorgente]

21
Ipotesi
  • 4 la funzione d'anello <math>G_a (s)</math> è strettamente propria con <math>m_a</math> zeri e <math>n_a > m_a</math> poli;
  • 5 la funzione di trasferimento in catena chiusa <math>W_y (s)</math> è strettamente propria con <math>m_W</math> zeri e <math>n_W > m_W</math> poli;
  • 9 il diagramma di Bode del modulo della funzione d'anello <math>G_a (s)</math> arriva da <math>+ \infty</math> a basse frequenze, taglia l'asse delle ascisse in corrispondenza della pulsazione di cross-over <math>\omega_c</math> e va verso <math>- \infty</math> ad alte frequenze.
Dipendenze tra la funzione d'anello <math>G_a(s)</math> e la funzione di trasferimento in catena chiusa <math>W_y(s)</math>
<math>W_y (s) = \frac{N_W(s)}{D_W(s)} = \frac{G_a(s)}{1+G_a(s)} = \frac{N_a(s)}{D_a(s) + N_a(s)}</math>
  • 7-8 <math>G_a(s)</math> e <math>W_y(s)</math> hanno gli stessi zeri:
    <math>\forall \omega : \; N_a(s) = N_W(s) \Rightarrow \begin{cases} m_W = m_A \\ {\zeta_W}_j = {\zeta_a}_j , \quad j = 1, \ldots , m_a \end{cases}</math>
  • <math>G_a(s)</math> e <math>W_y(s)</math> hanno lo stesso numero di poli:
    <math>\forall \omega : \; D_W(s) = D_a(s) + N_a(s) \Rightarrow n_W = n_A</math>
  • 14-16 in bassa frequenza, <math>W_y(s)</math> è approssimabile a 1, e i poli di <math>W_y(s)</math> sono approssimabili ai suoi zeri (uguali agli zeri di <math>G_a(s)</math>):
    <math>\omega \ll \omega_c : \; \left| G_a(s) \right| \gg 1 \Rightarrow D_W(s) \cong N_W (s) = N_a(s) \Rightarrow \forall \lambda_W, \zeta_a : \; \lambda_W \approx \zeta_a \Rightarrow W_y(s) \cong 1</math>
  • 20 nella banda intorno alla pulsazione di cross-over <math>\omega_c</math>, <math>W_y (s)</math> è approssimabile a una dinamica del 2º ordine (coppia di poli complessi coniugati):
    <math>W_y (s) \cong \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}</math>
  • 17-19 in alta frequenza, <math>W_y(s)</math> è approssimabile a <math>G_a(s)</math>, e i poli di <math>W_y(s)</math> sono approssimabili ai poli di <math>G_a(s)</math> (in alta frequenza la catena rimane aperta):
    <math>\omega \gg \omega_c : \; \left| G_a(s) \right| \ll 1 \Rightarrow \frac{N_W(s)}{D_W(s)} \cong \frac{N_a(s)}{D_a(s)} \Rightarrow \forall \lambda_W , \lambda_a : \; \lambda_W \approx \lambda_a \Rightarrow W_y (s) \cong G_a (s)</math>

Dinamica nel tempo e in frequenza dei sistemi del 2º ordine[modifica | modifica sorgente]

41 Ipotesi

La funzione di trasferimento in catena chiusa <math>W_y (s)</math> è approssimata ad un modello di riferimento <math>{W_y}_{\text{rif}} (s)</math> che ha la sola dinamica del 2º ordine:

<math>{W_y}_{\text{rif}} (s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}</math>

dove <math>\omega_n</math> è dato e <math>\zeta \in \left( 0,3 ; 0,7 \right)</math>.

42 La corrispondente funzione d'anello di riferimento <math>{G_a}_{\text{rif}} (s)</math> è di tipo 1:

<math>{G_a}_{\text{rif}} (s) = \frac{ {W_y}_{\text{rif}} (s)}{1- {W_y}_{\text{rif}} (s)} = \frac{\omega_n^2}{s \left( s + 2 \zeta \omega_n \right)}</math>
Parametri caratteristici della funzione d'anello di riferimento <math>{G_a}_{\text{rif}} (s)</math>
  • 44 guadagno stazionario di velocità <math>K_v</math>:
    <math>K_v = \frac{\omega_n}{2 \zeta}</math>
  • 45 pulsazione di cross-over <math>\omega_c</math>:
    <math>\omega_c = \omega_n \sqrt{-2 \zeta^2 + \sqrt{1+ 4 \zeta^4}}</math>
  • 46 margine di fase <math>m_\phi</math>:
    <math>m_\phi = \rm{arctg} \left( \frac{2 \zeta \omega_n}{\omega_c} \right)</math>
  • 47 margine di guadagno <math>m_G</math>: è infinito perché <math>{G_a}_{\text{rif}}</math> non ha mai fase pari a <math>- {180}^\circ</math>.
Parametri caratteristici della funzione di trasferimento in catena chiusa di riferimento <math>{W_y}_{\text{rif}} (s)</math>
  • 48 guadagno stazionario <math>K_{ {W_y}_{\text{rif}}}</math>:[1]
    <math>K_{ {W_y}_{\text{rif}}} = {W_y}_{\text{rif}} (0) = 1</math>
  • picco di risonanza <math>M_r</math>:
    <math>M_r = \frac{ \max{ \left( \left| {W_y}_{\text{rif}} \left( j \omega \right) \right| \right)}}{\left| K_{ {W_y}_{\text{rif}}} \right|} = \frac{\left| {W_y}_{\text{rif}} \left( j \omega_r \right) \right|}{1} = \frac{1}{2 \zeta \sqrt{1- \zeta^2}} , \quad \begin{cases} 0 < \zeta < \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \omega_r = \omega_n \sqrt{1- 2 \zeta^2} \end{cases}</math>
  • 49 pulsazione <math>\omega_B</math> relativa alla banda passante a <math>-3 \text{ dB}</math>:
    <math>\omega_B = \omega_n R , \quad \begin{cases} R = \sqrt{1-2 \zeta^2 + \sqrt{2-4 \zeta^2 + 4 \zeta^4}} \\ \forall \omega \leq \omega_B : \; \frac{\left| {W_y}_{\text{rif}} ( j \omega ) \right|}{\left| K_{ {W_y}_{\text{rif}}} \right|} \geq \frac{\sqrt{2}}{2} \approx -3 \text{ dB} \end{cases}</math>
56 Risposta al gradino unitario <math>{y_g}_{ {W_y}_{\text{rif}}} (t)</math>
  • 51 risposta al gradino unitario:
    <math>{y_g}_{ {W_y}_{\text{rif}}} (t) = 1 - \frac{1}{\sqrt{1- \zeta^2}} e^{- \zeta \omega_n t} \sin{\left( \sqrt{1- \zeta^2} \omega_n t + \phi \right)} , \quad \phi = \rm{arctg}{\left( \sqrt{\frac{1}{\zeta^2} -1} \right)}</math>
    • 57 <math>\hat s</math>: sovraelongazione massima (relativa);
    • <math>\hat t</math>: tempo corrispondente a <math>\hat s</math>;
    • <math>t_s</math>: tempo di salita;
    • <math>t_r</math>: tempo di salita dal 10% al 90%;
    • <math>t_{a \varepsilon}</math>: tempo di assestamento a <math>\pm \varepsilon</math>.
59-60-61-62-63-64-65-66 Relazioni notevoli per la funzione di trasferimento in catena chiusa di riferimento <math>{W_y}_{\text{rif}} (s)</math>
  • <math>\hat s = e^{- \frac{\pi \zeta}{\sqrt{1- \zeta^2}}}</math>
  • <math>\omega_B t_r \cong \frac{2,048 R}{1,561 - \zeta} - 0,2923 R \cong 2</math>
  • <math>\omega_B t_s = \frac{R}{\sqrt{1- \zeta^2}} \left( \pi - \rm{arctg}{\sqrt{\zeta^{-2} -1}} \right) \cong 3</math>
  • <math>\omega_B \hat t = \frac{\pi R}{\sqrt{1- \zeta^2}} \cong 4,5</math>
  • <math>\omega_B t_{a \varepsilon} \cong \frac{- \log{\left( \varepsilon \sqrt{1- \zeta^2} \right)}}{\zeta} R</math>
  • <math>\frac{\omega_c}{\omega_B} = \frac{\sqrt{-2 \zeta^2 + \sqrt{1+4 \zeta^4}}}{R} \cong 0,63</math>
  • <math>\frac{1+ \hat s}{M_r} = 2 \zeta \sqrt{1- \zeta^2} \left( 1+ e^{- \pi \frac{\zeta}{\sqrt{1- \zeta^2}}} \right) \cong 0,9</math>
  • <math>m_\varphi M_r = \frac{1}{2 \zeta \sqrt{1- \zeta^2}} \rm{arctg}{\frac{2 \zeta}{\sqrt{-2 \zeta^2 + \sqrt{1+4 \zeta^4}}}} \cong 1,05 \text{ rad} \cong 60^\circ</math>

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. Come visto al capitolo precedente, si tratta di un'approssimazione, che diventa un'eguaglianza solo in presenza di almeno un polo nell'origine.
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