Controlli automatici/Risposta transitoria e in frequenza

Da WikiAppunti.
Nota disambigua.svg Il titolo di questa pagina non è corretto per via delle caratteristiche del software MediaWiki. Il titolo corretto è 12. Risposta transitoria e in frequenza.
Gtk-go-back-ltr.svg  11. Margini di stabilitàGtk-home.svg  Controlli automatici (Controlli automatici)13. Diagrammi e carta di Nichols  Gtk-go-forward-ltr.svg

Analisi della dipendenza tra catena aperta e catena chiusa[modifica]

21
Ipotesi
  • 4 la funzione d'anello G_a (s) è strettamente propria con m_a zeri e n_a > m_a poli;
  • 5 la funzione di trasferimento in catena chiusa W_y (s) è strettamente propria con m_W zeri e n_W > m_W poli;
  • 9 il diagramma di Bode del modulo della funzione d'anello G_a (s) arriva da + \infty a basse frequenze, taglia l'asse delle ascisse in corrispondenza della pulsazione di cross-over \omega_c e va verso - \infty ad alte frequenze.
Dipendenze tra la funzione d'anello G_a(s) e la funzione di trasferimento in catena chiusa W_y(s)
W_y (s) = \frac{N_W(s)}{D_W(s)} = \frac{G_a(s)}{1+G_a(s)} = \frac{N_a(s)}{D_a(s) + N_a(s)}
  • 7-8 G_a(s) e W_y(s) hanno gli stessi zeri:
    \forall \omega : \; N_a(s) = N_W(s) \Rightarrow \begin{cases} m_W = m_A \\ {\zeta_W}_j = {\zeta_a}_j , \quad j = 1, \ldots , m_a \end{cases}
  • G_a(s) e W_y(s) hanno lo stesso numero di poli:
    \forall \omega : \; D_W(s) = D_a(s) + N_a(s) \Rightarrow n_W = n_A
  • 14-16 in bassa frequenza, W_y(s) è approssimabile a 1, e i poli di W_y(s) sono approssimabili ai suoi zeri (uguali agli zeri di G_a(s)):
    \omega \ll \omega_c : \; \left| G_a(s) \right| \gg 1 \Rightarrow D_W(s) \cong N_W (s) = N_a(s) \Rightarrow \forall \lambda_W, \zeta_a : \; \lambda_W \approx \zeta_a \Rightarrow W_y(s) \cong 1
  • 20 nella banda intorno alla pulsazione di cross-over \omega_c, W_y (s) è approssimabile a una dinamica del 2º ordine (coppia di poli complessi coniugati):
    W_y (s) \cong \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}
  • 17-19 in alta frequenza, W_y(s) è approssimabile a G_a(s), e i poli di W_y(s) sono approssimabili ai poli di G_a(s) (in alta frequenza la catena rimane aperta):
    \omega \gg \omega_c : \; \left| G_a(s) \right| \ll 1 \Rightarrow \frac{N_W(s)}{D_W(s)} \cong \frac{N_a(s)}{D_a(s)} \Rightarrow \forall \lambda_W , \lambda_a : \; \lambda_W \approx \lambda_a \Rightarrow W_y (s) \cong G_a (s)

Dinamica nel tempo e in frequenza dei sistemi del 2º ordine[modifica]

41 Ipotesi

La funzione di trasferimento in catena chiusa W_y (s) è approssimata ad un modello di riferimento {W_y}_{\text{rif}} (s) che ha la sola dinamica del 2º ordine:

{W_y}_{\text{rif}} (s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}

dove \omega_n è dato e \zeta \in \left( 0,3 ; 0,7 \right).

42 La corrispondente funzione d'anello di riferimento {G_a}_{\text{rif}} (s) è di tipo 1:

{G_a}_{\text{rif}} (s) = \frac{ {W_y}_{\text{rif}} (s)}{1- {W_y}_{\text{rif}} (s)} = \frac{\omega_n^2}{s \left( s + 2 \zeta \omega_n \right)}
Parametri caratteristici della funzione d'anello di riferimento {G_a}_{\text{rif}} (s)
  • 44 guadagno stazionario di velocità K_v:
    K_v = \frac{\omega_n}{2 \zeta}
  • 45 pulsazione di cross-over \omega_c:
    \omega_c = \omega_n \sqrt{-2 \zeta^2 + \sqrt{1+ 4 \zeta^4}}
  • 46 margine di fase m_\phi:
    m_\phi = \rm{arctg} \left( \frac{2 \zeta \omega_n}{\omega_c} \right)
  • 47 margine di guadagno m_G: è infinito perché {G_a}_{\text{rif}} non ha mai fase pari a - {180}^\circ.
Parametri caratteristici della funzione di trasferimento in catena chiusa di riferimento {W_y}_{\text{rif}} (s)
  • 48 guadagno stazionario K_{ {W_y}_{\text{rif}}}:[1]
    K_{ {W_y}_{\text{rif}}} = {W_y}_{\text{rif}} (0) = 1
  • picco di risonanza M_r:
    M_r = \frac{ \max{ \left( \left| {W_y}_{\text{rif}} \left( j \omega \right) \right| \right)}}{\left| K_{ {W_y}_{\text{rif}}} \right|} = \frac{\left| {W_y}_{\text{rif}} \left( j \omega_r \right) \right|}{1} = \frac{1}{2 \zeta \sqrt{1- \zeta^2}} , \quad \begin{cases} 0 < \zeta < \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \omega_r = \omega_n \sqrt{1- 2 \zeta^2} \end{cases}
  • 49 pulsazione \omega_B relativa alla banda passante a -3 \text{ dB}:
    \omega_B = \omega_n R , \quad \begin{cases} R = \sqrt{1-2 \zeta^2 + \sqrt{2-4 \zeta^2 + 4 \zeta^4}} \\ \forall \omega \leq \omega_B : \; \frac{\left| {W_y}_{\text{rif}} ( j \omega ) \right|}{\left| K_{ {W_y}_{\text{rif}}} \right|} \geq \frac{\sqrt{2}}{2} \approx -3 \text{ dB} \end{cases}
56 Risposta al gradino unitario {y_g}_{ {W_y}_{\text{rif}}} (t)
  • 51 risposta al gradino unitario:
    {y_g}_{ {W_y}_{\text{rif}}} (t) = 1 - \frac{1}{\sqrt{1- \zeta^2}} e^{- \zeta \omega_n t} \sin{\left( \sqrt{1- \zeta^2} \omega_n t + \phi \right)} , \quad \phi = \rm{arctg}{\left( \sqrt{\frac{1}{\zeta^2} -1} \right)}
    • 57 \hat s: sovraelongazione massima (relativa);
    • \hat t: tempo corrispondente a \hat s;
    • t_s: tempo di salita;
    • t_r: tempo di salita dal 10% al 90%;
    • t_{a \varepsilon}: tempo di assestamento a \pm \varepsilon.
59-60-61-62-63-64-65-66 Relazioni notevoli per la funzione di trasferimento in catena chiusa di riferimento {W_y}_{\text{rif}} (s)
  • \hat s = e^{- \frac{\pi \zeta}{\sqrt{1- \zeta^2}}}
  • \omega_B t_r \cong \frac{2,048 R}{1,561 - \zeta} - 0,2923 R \cong 2
  • \omega_B t_s = \frac{R}{\sqrt{1- \zeta^2}} \left( \pi - \rm{arctg}{\sqrt{\zeta^{-2} -1}} \right) \cong 3
  • \omega_B \hat t = \frac{\pi R}{\sqrt{1- \zeta^2}} \cong 4,5
  • \omega_B t_{a \varepsilon} \cong \frac{- \log{\left( \varepsilon \sqrt{1- \zeta^2} \right)}}{\zeta} R
  • \frac{\omega_c}{\omega_B} = \frac{\sqrt{-2 \zeta^2 + \sqrt{1+4 \zeta^4}}}{R} \cong 0,63
  • \frac{1+ \hat s}{M_r} = 2 \zeta \sqrt{1- \zeta^2} \left( 1+ e^{- \pi \frac{\zeta}{\sqrt{1- \zeta^2}}} \right) \cong 0,9
  • m_\varphi M_r = \frac{1}{2 \zeta \sqrt{1- \zeta^2}} \rm{arctg}{\frac{2 \zeta}{\sqrt{-2 \zeta^2 + \sqrt{1+4 \zeta^4}}}} \cong 1,05 \text{ rad} \cong 60^\circ

Note[modifica]

  1. Come visto al capitolo precedente, si tratta di un'approssimazione, che diventa un'eguaglianza solo in presenza di almeno un polo nell'origine.
Nota disambigua.svg Il titolo di questa pagina non è corretto per via delle caratteristiche del software MediaWiki. Il titolo corretto è 12. Risposta transitoria e in frequenza.
Gtk-go-back-ltr.svg  11. Margini di stabilitàGtk-home.svg  Controlli automatici (Controlli automatici)13. Diagrammi e carta di Nichols  Gtk-go-forward-ltr.svg