Controlli automatici/Retroazione statica dallo stato

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Legge di controllo[modifica]

Rappresentazione schematica della legge di controllo

5 Tramite la legge di controllo è possibile agire sull'ingresso di un sistema dinamico LTI in modo da cambiare gli autovalori della matrice al fine di:

  • rendere asintoticamente stabile un sistema instabile;
  • imporre dei modi naturali convergenti che migliorano alcune proprietà del sistema:
    • smorzamento: ad es. un ascensore non può salire con troppa accelerazione;
    • rapidità di convergenza: ad es. un ascensore quando arriva al piano deve fermarsi senza oscillare su e giù;
  • portare il sistema in uno stato di equilibrio dato.

6-7 Per modificare il comportamento dinamico del sistema è necessario applicare un ingresso che dipende dallo stato secondo la legge di controllo per retroazione statica[1] dallo stato:[2]

dove:

  • il contributo rappresenta la retroazione dallo stato (o state feedback), con chiamata matrice dei guadagni;
  • il contributo rappresenta l'azione diretta (o feedforward), con l'ingresso esterno (riferimento) che serve per pilotare il sistema in maniera opportuna.
9 Problema di assegnazione degli autovalori mediante retroazione statica dallo stato

Intervenendo sulla matrice è possibile modificare in maniera arbitraria tutti gli autovalori della matrice ?

10-11 Teorema di assegnazione degli autovalori

È possibile modificare in maniera arbitraria tutti gli autovalori della matrice intervenendo sulla matrice se e solo se il sistema è completamente raggiungibile:

In particolare si interviene sulla matrice in modo che gli autovalori della matrice coincidano con numeri fissati arbitrariamente.

Se il sistema non è completamente raggiungibile, la legge di controllo può modificare solo gli autovalori corrispondenti alla sua parte raggiungibile.

8-14 Quando l'ingresso segue la legge di controllo, il sistema controllato complessivo ha le seguenti equazioni di ingresso-stato-uscita:

Dimostrazione

Sostituendo l'espressione della legge di controllo nelle equazioni di ingresso-stato-uscita del sistema da controllare:

15 Il coefficiente assume il ruolo di guadagno della funzione di trasferimento tra l'uscita e l'ingresso nel sistema controllato complessivo:

Problema della regolazione[modifica]

Sistemi LTI a tempo continuo[modifica]

35-36 L'equilibrio di un sistema controllato, a tempo continuo e asintoticamente stabile è:

Dimostrazione
37 Problema della regolazione dell'uscita

È possibile fare in modo che il valore di equilibrio dell'uscita coincida con il valore di equilibrio dell'ingresso ?

39 Condizione di regolazione

La scelta del coefficiente risolve il problema della regolazione:

38 Dimostrazione

Sistemi LTI a tempo discreto[modifica]

40 L'equilibrio di un sistema controllato, a tempo discreto e asintoticamente stabile è:

41 Condizione di regolazione

Note[modifica]

  1. Il termine "statica" indica che la matrice è costante.
  2. 12 Per semplicità si considera un solo ingresso () e un solo ingresso esterno ().
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