Controlli automatici/Retroazione statica dallo stato

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Legge di controllo[modifica]

Rappresentazione schematica della legge di controllo

5 Tramite la legge di controllo è possibile agire sull'ingresso di un sistema dinamico LTI in modo da cambiare gli autovalori della matrice A al fine di:

  • rendere asintoticamente stabile un sistema instabile;
  • imporre dei modi naturali convergenti che migliorano alcune proprietà del sistema:
    • smorzamento: ad es. un ascensore non può salire con troppa accelerazione;
    • rapidità di convergenza: ad es. un ascensore quando arriva al piano deve fermarsi senza oscillare su e giù;
  • portare il sistema in uno stato di equilibrio dato.

6-7 Per modificare il comportamento dinamico del sistema è necessario applicare un ingresso u(t) che dipende dallo stato x(t) secondo la legge di controllo per retroazione statica[1] dallo stato:[2]

u(t) = -K x(t) + \alpha r(t) , \quad x (t) \in \R^n , \; u (t) \in \R , \; K \in {\R}^{1 \times n}, \; \alpha \in \R

dove:

  • il contributo K x(t) rappresenta la retroazione dallo stato (o state feedback), con K chiamata matrice dei guadagni;
  • il contributo \alpha r(t) rappresenta l'azione diretta (o feedforward), con l'ingresso esterno r(t) (riferimento) che serve per pilotare il sistema in maniera opportuna.
9 Problema di assegnazione degli autovalori mediante retroazione statica dallo stato

Intervenendo sulla matrice K è possibile modificare in maniera arbitraria tutti gli n autovalori della matrice A?

10-11 Teorema di assegnazione degli autovalori

È possibile modificare in maniera arbitraria tutti gli n autovalori della matrice A intervenendo sulla matrice K se e solo se il sistema è completamente raggiungibile:

\rho \left( M_R \right) = n

In particolare si interviene sulla matrice K in modo che gli n autovalori della matrice A-BK coincidano con n numeri fissati arbitrariamente.

Se il sistema non è completamente raggiungibile, la legge di controllo può modificare solo gli r autovalori corrispondenti alla sua parte raggiungibile.

8-14 Quando l'ingresso u(t) segue la legge di controllo, il sistema controllato complessivo ha le seguenti equazioni di ingresso-stato-uscita:

\begin{cases} \dot x (t) = A_{RS} x(t) + B_{RS} u(t) = \overbrace{\left( A - BK \right)}^{A_{RS}} x (t) + \overbrace{B \alpha}^{B_{RS}} r(t) \\
y (t) = C_{RS} x (t) + D_{RS} u(t) = \underbrace{\left( C - DK \right)}_{C_{RS}} x (t) + \underbrace{D \alpha}_{D_{RS}} r(t) \end{cases}
Dimostrazione

Sostituendo l'espressione della legge di controllo nelle equazioni di ingresso-stato-uscita del sistema da controllare:

u(t) = -K x(t) + \alpha r(t) \Rightarrow \begin{cases} \dot x \left( t \right) = A x (t) + B u(t) = A x (t) + B \overbrace{\left[ -K x (t) + \alpha r(t) \right]}^{u (t)} = \left( A-BK \right) x(t) + B \alpha r(t) \\
y(t) = C x(t) + D u(t) = C x(t) + D \underbrace{\left[ -K x(t) + \alpha r(t) \right]}_{u(t)} = \left( C-DK \right) x(t) + D \alpha r(t) \end{cases}

15 Il coefficiente \alpha assume il ruolo di guadagno della funzione di trasferimento H(s) tra l'uscita y(t) e l'ingresso r(t) nel sistema controllato complessivo:

H \left( s \right) = C_{RS} {\left( sI - A_{RS} \right)}^{-1} B_{RS} + D_{RS} = \left\{ \left( C-DK \right) {\left[ sI - \left( A-BK \right) \right]}^{-1} B+D \right\} \alpha

Problema della regolazione[modifica]

Sistemi LTI a tempo continuo[modifica]

35-36 L'equilibrio \left( \bar r , \bar x , \bar y \right) di un sistema controllato, a tempo continuo e asintoticamente stabile è:

\begin{cases} \bar x = - {\left( A -BK \right)}^{-1} B \alpha \bar r \\
\bar y = \left[ - \left( C-DK \right) {\left( A-BK \right)}^{-1} B+D \right] \alpha \bar r \end{cases}
Dimostrazione
\dot x \left( t \right) = \left( A-BK \right) x \left( t \right) + B \alpha r (t) \Rightarrow \dot{\bar x} = 0 = \left( A-BK \right) \bar x + B \alpha \bar r \Rightarrow \bar x = - {\left( A-BK \right)}^{-1} B \alpha \bar r
y(t) = \left( C- DK \right) x(t) + D \alpha r(t) \Rightarrow \bar y = \left( C-DK \right) \bar x + D \alpha \bar r \Rightarrow \bar y = \left[ - \left( C-DK \right) {\left( A-BK \right)}^{-1} B +D \right] \alpha \bar r
37 Problema della regolazione dell'uscita

È possibile fare in modo che il valore di equilibrio dell'uscita \bar y coincida con il valore di equilibrio dell'ingresso \bar r?

39 Condizione di regolazione

La scelta del coefficiente \alpha risolve il problema della regolazione:

\alpha = {\left[ - \left( C-DK \right) {\left( A-BK \right)}^{-1} B+D \right]}^{-1}
38 Dimostrazione
y(t) = \left( C- DK \right) x(t) + D \alpha r(t) \Rightarrow \bar y = \left[ - \left( C-DK \right) {\left( A-BK \right)}^{-1} B +D \right] \alpha \bar r
\bar y = \bar r \Rightarrow \left[ - \left( C-DK \right) {\left( A-BK \right)}^{-1} B+D \right] \alpha = 1

Sistemi LTI a tempo discreto[modifica]

40 L'equilibrio \left( \bar r , \bar x , \bar y \right) di un sistema controllato, a tempo discreto e asintoticamente stabile è:

\begin{cases} \bar x = {\left( A -BK \right)} \bar x + B \alpha \bar r \\
\bar y = \left( C-DK \right) \bar x + D \alpha \bar r \end{cases}
41 Condizione di regolazione
\alpha = {\left\{ \left( C-DK \right) {\left[ I- \left( A-BK \right) \right]}^{-1} B+D \right\}}^{-1}

Note[modifica]

  1. Il termine "statica" indica che la matrice K è costante.
  2. 12 Per semplicità si considera un solo ingresso u(t) (p=1) e un solo ingresso esterno r(t) (q=1).
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