Controlli automatici/Retroazione statica dallo stato

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Legge di controllo[modifica]

Rappresentazione schematica della legge di controllo

5 Tramite la legge di controllo è possibile agire sull'ingresso di un sistema dinamico LTI in modo da cambiare gli autovalori della matrice <math>A</math> al fine di:

  • rendere asintoticamente stabile un sistema instabile;
  • imporre dei modi naturali convergenti che migliorano alcune proprietà del sistema:
    • smorzamento: ad es. un ascensore non può salire con troppa accelerazione;
    • rapidità di convergenza: ad es. un ascensore quando arriva al piano deve fermarsi senza oscillare su e giù;
  • portare il sistema in uno stato di equilibrio dato.

6-7 Per modificare il comportamento dinamico del sistema è necessario applicare un ingresso <math>u(t)</math> che dipende dallo stato <math>x(t)</math> secondo la legge di controllo per retroazione statica[1] dallo stato:[2]

<math>u(t) = -K x(t) + \alpha r(t) , \quad x (t) \in \R^n , \; u (t) \in \R , \; K \in {\R}^{1 \times n}, \; \alpha \in \R</math>

dove:

  • il contributo <math>K x(t)</math> rappresenta la retroazione dallo stato (o state feedback), con <math>K</math> chiamata matrice dei guadagni;
  • il contributo <math>\alpha r(t)</math> rappresenta l'azione diretta (o feedforward), con l'ingresso esterno <math>r(t)</math> (riferimento) che serve per pilotare il sistema in maniera opportuna.
9 Problema di assegnazione degli autovalori mediante retroazione statica dallo stato

Intervenendo sulla matrice <math>K</math> è possibile modificare in maniera arbitraria tutti gli <math>n</math> autovalori della matrice <math>A</math>?

10-11 Teorema di assegnazione degli autovalori

È possibile modificare in maniera arbitraria tutti gli <math>n</math> autovalori della matrice <math>A</math> intervenendo sulla matrice <math>K</math> se e solo se il sistema è completamente raggiungibile:

<math>\rho \left( M_R \right) = n</math>

In particolare si interviene sulla matrice <math>K</math> in modo che gli <math>n</math> autovalori della matrice <math>A-BK</math> coincidano con <math>n</math> numeri fissati arbitrariamente.

Se il sistema non è completamente raggiungibile, la legge di controllo può modificare solo gli <math>r</math> autovalori corrispondenti alla sua parte raggiungibile.

8-14 Quando l'ingresso <math>u(t)</math> segue la legge di controllo, il sistema controllato complessivo ha le seguenti equazioni di ingresso-stato-uscita:

<math>\begin{cases} \dot x (t) = A_{RS} x(t) + B_{RS} u(t) = \overbrace{\left( A - BK \right)}^{A_{RS}} x (t) + \overbrace{B \alpha}^{B_{RS}} r(t) \\

y (t) = C_{RS} x (t) + D_{RS} u(t) = \underbrace{\left( C - DK \right)}_{C_{RS}} x (t) + \underbrace{D \alpha}_{D_{RS}} r(t) \end{cases}</math>

Dimostrazione

15 Il coefficiente <math>\alpha</math> assume il ruolo di guadagno della funzione di trasferimento <math>H(s)</math> tra l'uscita <math>y(t)</math> e l'ingresso <math>r(t)</math> nel sistema controllato complessivo:

<math>H \left( s \right) = C_{RS} {\left( sI - A_{RS} \right)}^{-1} B_{RS} + D_{RS} = \left\{ \left( C-DK \right) {\left[ sI - \left( A-BK \right) \right]}^{-1} B+D \right\} \alpha</math>

Problema della regolazione[modifica]

Sistemi LTI a tempo continuo[modifica]

35-36 L'equilibrio <math>\left( \bar r , \bar x , \bar y \right)</math> di un sistema controllato, a tempo continuo e asintoticamente stabile è:

<math>\begin{cases} \bar x = - {\left( A -BK \right)}^{-1} B \alpha \bar r \\

\bar y = \left[ - \left( C-DK \right) {\left( A-BK \right)}^{-1} B+D \right] \alpha \bar r \end{cases}</math>

Dimostrazione
37 Problema della regolazione dell'uscita

È possibile fare in modo che il valore di equilibrio dell'uscita <math>\bar y</math> coincida con il valore di equilibrio dell'ingresso <math>\bar r</math>?

39 Condizione di regolazione

La scelta del coefficiente <math>\alpha</math> risolve il problema della regolazione:

<math>\alpha = {\left[ - \left( C-DK \right) {\left( A-BK \right)}^{-1} B+D \right]}^{-1}</math>
38 Dimostrazione

Sistemi LTI a tempo discreto[modifica]

40 L'equilibrio <math>\left( \bar r , \bar x , \bar y \right)</math> di un sistema controllato, a tempo discreto e asintoticamente stabile è:

<math>\begin{cases} \bar x = {\left( A -BK \right)} \bar x + B \alpha \bar r \\

\bar y = \left( C-DK \right) \bar x + D \alpha \bar r \end{cases}</math>

41 Condizione di regolazione
<math>\alpha = {\left\{ \left( C-DK \right) {\left[ I- \left( A-BK \right) \right]}^{-1} B+D \right\}}^{-1}</math>

Note[modifica]

  1. Il termine "statica" indica che la matrice <math>K</math> è costante.
  2. 12 Per semplicità si considera un solo ingresso <math>u(t)</math> (<math>p=1</math>) e un solo ingresso esterno <math>r(t)</math> (<math>q=1</math>).
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