Controlli automatici/Reiezione disturbi polinomiali

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3-4-5-6-7 Schema a blocchi di un sistema di controllo in catena chiusa con retroazione dall'uscita in presenza di disturbi

2 Un disturbo è costituito da un segnale indesiderato che agisce sul sistema modificandone il comportamento dinamico e quindi l'andamento dell'uscita. I disturbi possono essere generati da:

  • il rumore dei dispositivi elettronici interni al sistema da controllare e/o presenti negli attuatori e trasduttori impiegati;
  • elementi fisici del sistema, quali il carico variabile di un braccio robotico, il vento per un'antenna radar, l'attrito in un sistema meccanico, ecc.
8-9 Tipi di disturbo
  • disturbi polinomiali: rappresentano offset o derive nel tempo;
  • disturbi sinusoidali: rappresentano la componente principale di rumore di un dispositivo.

Effetti di disturbi polinomiali sull'uscita in regime permanente[modifica]

Tipi di disturbo polinomiale
  • disturbo costante (polinomio di grado zero): rappresenta un offset:
    d(t) = D \Rightarrow d (s) = \frac{D}{s}
  • disturbo a rampa (polinomio di primo grado): rappresenta una deriva nel tempo:
    d(t) = \alpha_d t \Rightarrow d (s) = \frac{\alpha_d}{s^2}

11 Un disturbo polinomiale è caratterizzato da:

  • posizione nell'anello;
  • tipo e guadagno stazionario dei blocchi sull'anello.

12 Per ogni disturbo d_j (t):

  • si pongono a zero il riferimento r(t) (e quindi l'uscita desiderata y_{\text{des}} (t)) e tutti gli altri eventuali disturbi;
  • 16-26 si determina l'effetto del disturbo sull'uscita in regime permanente {y_{d_j}}_\infty, cioè il valore dell'uscita in regime permanente in presenza del solo disturbo d_j (t), tramite il teorema del valore finale:
    {y_{d_j}}_\infty = \lim_{t \to + \infty} y_{d_j} (t) = \lim_{s \to 0} s y_{d_j} (s) = \lim_{s \to 0} s W_{d_j} (s) d_j (s)
15-25 dove W_{d_j} è la funzione di trasferimento fra il disturbo e l'uscita:
W_{d_j} (s) = \frac{y_{d_j} (s)}{d_j (s)}
  • si determina l'errore in regime permanente {e_{d_j}}_\infty dovuto alla sola presenza del disturbo d_j (t):
    e(t) = \cancel{y_{\text{des}} (t)} - y (t) \Rightarrow {e_{d_j}}_\infty = - {y_{d_j}}_\infty

19 Un sistema si dice astatico ad un disturbo d_j (t) se l'effetto {y_{d_j}}_\infty di tale disturbo sull'uscita in regime permanente è nullo (reiezione totale).

13 Per il principio di sovrapposizione degli effetti, l'errore totale in regime permanente e_\infty corrisponde alla somma degli errori dovuti ad ogni disturbo d_j (t) e dell'eventuale errore di inseguimento in regime permanente {e_r}_\infty:

e_\infty = {e_r}_\infty + \sideset{}{_j}\sum{ {e_{d_j}}_\infty }

Effetti di un disturbo posto sull'uscita[modifica]

Effetto sull'uscita in regime permanente {y_{d_y}}_\infty
Disturbo d_y (t) posto sull'uscita
costante: D_y rampa: \alpha_{d_y} t
S
i
s
t
e
m
a
tipo 0 \frac{D_y}{1+ K_{Ga}} + \infty
tipo 1 0 \frac{\alpha_{d_y}}{K_{Ga}}
tipo 2 0 0

14-15 Dato un sistema di controllo in retroazione avente una funzione d'anello G_a (s) = C(s) F(s) in forma minima e priva di zeri nell'origine, la funzione di trasferimento W_{d_y} (s) fra un disturbo polinomiale d_y (t) posto sull'uscita e l'uscita è data da:

W_{d_y} (s) = \frac{y_{d_y} (s)}{d_y (s)} = \frac{1}{1+ G_a (s)} = W_{e,y} (s)

16 Il sistema è astatico se è nullo l'effetto del disturbo sull'uscita in regime permanente {y_{d_y}}_\infty (reiezione totale):

{y_{d_y}}_\infty = \lim_{s \to 0} s W_{d_y} (s) d_y (s)
  • 18-19 il sistema è astatico ad un disturbo costante D_y posto sull'uscita se è almeno di tipo 1:
    {y_{d_y}}_\infty = \lim_{s \to 0} \cancel{s} \frac{1}{1+ G_a (s)} \frac{D_y}{\cancel{s}} = 0 , \quad G_a (s) = \frac{N \left( s \right)}{s}
  • 20-22 il sistema è astatico ad un disturbo a rampa \alpha_{d_y} t posto sull'uscita se è almeno di tipo 2:
    {y_{d_y}}_\infty = \lim_{s \to 0} \cancel{s} \frac{1}{1+ G_a (s)} \frac{\alpha_{d_y}}{s^{\cancel{2}}} = 0 , \quad G_a (s) = \frac{M \left( s \right)}{s^2}

Effetti di un disturbo posto lungo il ramo diretto[modifica]

Effetto sull'uscita in regime permanente {y_{d_i}}_\infty
Disturbo d_i (t) posto lungo il ramo diretto
costante: D_i rampa: \alpha_{d_i} t
G_1 (s) tipo 0 G_2 (s) tipo 0:

\frac{K_{G2} D_i}{1+ K_{G1} K_{G2}}

G_2 (s) tipo > 0:

\frac{D_i}{K_{G1}}

+ \infty
tipo 1 0 \frac{\alpha_{d_i}}{K_{G1}}
tipo 2 0 0

23 Sia d_i (t) un disturbo entrante in un punto intermedio del ramo diretto, precisamente fra dei blocchi a monte aventi funzione di trasferimento G_1 (s) e dei blocchi a valle aventi funzione di trasferimento G_2 (s):

  • se d_i (t) è un disturbo sul comando (d_u (t)): G_1 (s) = C(s), G_2 (s) = F (s);
  • se d_i (t) è un disturbo interno al sistema: G_1 (s) = C(s) F_1 (s), G_2 (s) = F_2 (s).

24-25 Dato un sistema di controllo in retroazione avente una funzione d'anello G_a (s) = C(s) F(s) in forma minima e priva di zeri nell'origine, la funzione di trasferimento W_{d_i} (s) fra un disturbo polinomiale d_i (t) posto lungo il ramo diretto e l'uscita è data da:

W_{d_i} (s) = \frac{y_{d_i} (s)}{d_i (s)} = \frac{G_2 (s)}{1+ G_a (s)} , \quad G_a (s) = G_1 (s) G_2 (s)

26 Il sistema è astatico se è nullo l'effetto del disturbo sull'uscita in regime permanente {y_{d_i}}_\infty (reiezione totale):

{y_{d_i}}_\infty = \lim_{s \to 0} s W_{d_i} (s) d_i (s)
  • 27-29 il sistema è astatico ad un disturbo costante D_i posto lungo il ramo diretto se G_1 (s) è almeno di tipo 1 indipendentemente dalla tipologia di G_2 (s):
    {y_{d_i}}_\infty = \lim_{s \to 0} \cancel{s} \frac{G_2 (s)}{1+ G_1 (s) G_2 (s)} \frac{D_i}{\cancel{s}} = 0 , \quad G_1 (s) = \frac{N \left( s \right)}{s}
  • 30-31 il sistema è astatico ad un disturbo a rampa \alpha_{d_i} t posto lungo il ramo diretto se G_1 (s) è almeno di tipo 2 indipendentemente dalla tipologia di G_2 (s):
    {y_{d_i}}_\infty = \lim_{s \to 0} \cancel{s} \frac{G_2 (s)}{1+ G_1 (s) G_2 (s)} \frac{\alpha_{d_i}}{s^{\cancel{2}}} = 0 , \quad G_1 (s) = \frac{M \left( s \right)}{s^2}

Implicazioni sul progetto del controllore[modifica]

Specifica di reiezione[modifica]

41-42 Una specifica di reiezione totale in regime permanente di un disturbo polinomiale può imporre vincoli sul numero di poli nell'origine della funzione di trasferimento C(s) del controllore \mathcal{C}: affinché un disturbo polinomiale di grado h sia reiettato completamente in regime permanente, è necessario che la funzione di trasferimento G_1 (s) risultante dalla cascata dei blocchi a monte del punto di ingresso del disturbo[1] abbia (almeno) h+1 poli nell'origine.

Specifica di attenuazione[modifica]

43 Una specifica di attenuazione minima in regime permanente di un disturbo polinomiale può essere formulata in termini di effetto massimo del disturbo sull'uscita, o equivalentemente sull'errore massimo generato, e può imporre vincoli sia sul numero di poli nell'origine, sia sul guadagno stazionario K_C minimo della funzione di trasferimento C(s) del controllore \mathcal{C}.

Vincoli sul numero di poli nell'origine[modifica]

44 Affinché l'effetto di un disturbo polinomiale d(t) di grado h sull'uscita in regime permanente {y_{d}}_\infty sia finito e non nullo, è necessario che la funzione di trasferimento G_1 (s) risultante dalla cascata dei blocchi a monte del punto di ingresso del disturbo[1] abbia (almeno) h poli nell'origine:

  • disturbo costante D: non richiede mai l'inserimento di poli nell'origine nella funzione di trasferimento C (s) del controllore;
  • 45 disturbo a rampa \alpha_d t: può richiedere l'inserimento di un polo nell'origine nella funzione di trasferimento C (s) del controllore nel caso in cui la funzione di trasferimento G_1 (s) non ha poli nell'origine.

Vincoli sul guadagno stazionario minimo[modifica]

46 Se il numero di poli della funzione di trasferimento G_1 (s) è uguale al grado del disturbo polinomiale d(t), l'effetto del disturbo sull'uscita in regime permanente {y_d}_\infty si riduce all'aumentare del guadagno stazionario K_{G1} della funzione di trasferimento G_1 (s), e quindi si riduce all'aumentare del guadagno stazionario K_C della funzione di trasferimento C(s) del controllore:

\left| {y_d}_\infty \left( K_{G1} \right) \right| \leq {y_d}_{\text{max}} \Rightarrow \left| K_{G1} \right| \geq {K_{G1}}_{\text{min}} \Rightarrow \left| K_C \right| \geq {K_C}_{\text{min}}

Note[modifica]

  1. 1,0 1,1 G_1 (s) coincide con l'intera G_a (s) se il disturbo entra sull'uscita del sistema.
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