Controlli automatici/Raggiungibilità e controllabilità

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6 Le proprietà di raggiungibilità e controllabilità descrivono come le variazioni dell'ingresso u \left( \bullet \right) possono modificare lo stato del sistema:

  • raggiungibilità: a partire da un particolare stato iniziale, si può raggiungere lo stato finale desiderato agendo sull'ingresso u \left( \bullet \right)?
  • controllabilità: a partire da un particolare stato finale, si può raggiungere lo stato iniziale desiderato agendo sull'ingresso u \left( \bullet \right)?

Raggiungibilità[modifica]

7 Uno stato x^* si dice raggiungibile a partire dallo stato zero x_0 = x \left( t_0 \right) se esistono:

  • un istante di tempo t^* \in \left[ t_0 , + \infty \right);
  • una funzione di ingresso u^* \left( t \right) definita in t \in \left[ t_0 , t^* \right];

tali che il movimento dello stato x \left( t \right) raggiunga al tempo t^* lo stato finale x^*:

x \left( t^* \right) = x^*

16 In un sistema LTI con dimensione finita n, lo spazio di stato X si divide in due parti:

  • parte raggiungibile: il sottospazio di raggiungibilità X_R di dimensione r < n, a cui sono associati r autovalori della matrice A;
  • parte non raggiungibile: il sottospazio di non raggiungibilità X_{NR} di dimensione n-r, a cui sono associati n-r autovalori della matrice A.

8 L'insieme di raggiungibilità X_R \left( t^* \right) è l'insieme di tutti gli stati finali x^* raggiungibili al tempo t^* a partire dallo stato zero x_0 considerando tutti i possibili ingressi applicabili:

X_R \left( t^* \right) = \left\{ x^* : \; x^* \text{ raggiungibile dallo stato zero } x_0 \text{ al tempo } t^* \right\}

L'insieme di raggiungibilità X_R \left( t^* \right) costituisce un sottospazio vettoriale dello spazio di stato X.

9 Il sottospazio di raggiungibilità X_R è il più grande insieme di raggiungibilità X_R \left( t \right):

X_R = \max_{t \in \left[ t_0 , + \infty \right)}{X_R \left( t \right)}

29 La dimensione r del sottospazio di raggiungibilità X_R è pari al rango della matrice di raggiungibilità M_R:

r = \rho \left( M_R \right)

La matrice di raggiungibilità M_R rappresenta il legame tra tutte le possibili variazioni degli ingressi in t \in \left[ t_0 , t^* \right] e tutti i possibili stati finali x^*:

M_R = \begin{bmatrix} B & AB & A^2 B & \cdots & A^{n-b} B \end{bmatrix}

dove b è il rango della matrice B (è sempre pari a 1 se il sistema ha un solo ingresso):

b = \rho{\left( B \right)}
Dimostrazione

Si ipotizza per semplicità:

  • il sistema LTI è a tempo discreto: x \left( k+1 \right) = A x \left( k \right) + B u \left( k \right);
  • il sistema ha un solo ingresso: p=1;
  • il tempo iniziale corrisponde all'origine: t_0 = 0;
  • la condizione iniziale è nulla: x_0 = x \left( 0 \right) = 0.
Insieme di raggiungibilità X_R \left( \ell \right) al tempo \ell

23-24 Si può ricavare il movimento dello stato al passo \ell-esimo:

\begin{array}{l} x \left( 1 \right) = A x \left( 0 \right) + B u \left( 0 \right) = B u \left( 0 \right) \\
x \left( 2 \right) = A x \left( 1 \right) + B u \left( 1 \right) = AB u \left( 0 \right) + B u \left( 1 \right) \\
x \left( 3 \right) = A x \left( 2 \right) + B u \left( 2 \right) = A^2 B u \left( 0 \right) + AB u \left( 1 \right) + B u \left( 2 \right) \\
\vdots \\
x \left( \ell \right) = A^{\ell -1} B u \left( 0 \right) + \cdots + AB u \left( \ell -2 \right) + B u \left( \ell -1 \right) = \underbrace{\begin{bmatrix} B & AB & \cdots & A^{\ell -1} B \end{bmatrix}}_{M_R \left( \ell \right)} \underbrace{\begin{bmatrix} u \left( \ell -1 \right) \\ u \left( \ell - 2 \right) \\ \vdots \\ u \left( 0 \right) \end{bmatrix}}_{U \left( \ell \right)} = M_R \left( \ell \right) U \left( \ell \right) \end{array}

25 La matrice M_R \left( \ell \right) rappresenta il legame tra la sequenza di ingresso e lo stato x \left( \ell \right). Pertanto, l'insieme di raggiungibilità X_R \left( \ell \right) corrisponde allo spazio immagine \mathcal{R} \left( \cdot \right) generato dalla combinazione lineare delle colonne della matrice M_R \left( \ell \right):

X_R \left( \ell \right) = \mathcal{R} \left( M_R \left( \ell \right) \right)
Sottospazio di raggiungibilità X_R

26 Determinare la dimensione \ell del sottospazio di raggiungibilità X_R significa determinare per quale istante \ell la matrice M_R \left( \ell \right) ha rango massimo.

27-28 Il calcolo del rango di M_R \left( \ell \right) è equivalente al calcolo del rango di M_R \left( n \right) (teorema di Caley-Hamilton):

X_R = X_R \left( n \right) = \mathcal{R} \left( M_R \right) = \mathcal{R} \left( M_R \left( n \right) \right) = \mathcal{R} \left( \begin{bmatrix} B & AB & \cdots & A^{n-1} B \end{bmatrix} \right)

9 Gli stati finali che non si possono raggiungere dallo stato zero costituiscono il sottospazio di non raggiungibilità X_{NR}, definito come il complemento ortogonale del sottospazio di raggiungibilità X_R:

X_{NR} = X_R^\bot : \; \begin{cases} X_{NR} \cap X_R = \varnothing \\ X_{NR} \cup X_R = X \end{cases}

17 L'ingresso u \left( \bullet \right) agisce solo sulla parte raggiungibile → la parte raggiungibile non influenza la parte non raggiungibile. Tuttavia, la parte non raggiungibile può disturbare la parte raggiungibile → è possibile regolare opportunamente l'ingresso u \left( \bullet \right) per compensare i disturbi della parte non raggiungibile.

9 Un sistema è completamente raggiungibile se il sottospazio di raggiungibilità X_R coincide con lo spazio di stato X, cioè a partire dallo stato zero si può raggiungere qualunque stato finale:

X_R = X \Leftrightarrow r = \rho \left( M_R \right) = n

Controllabilità[modifica]

10 Uno stato x^* = x \left( t_0 \right) si dice controllabile allo stato zero x_0 se esistono:

  • un istante di tempo t^* \in \left[ t_0 , + \infty \right);
  • una funzione di ingresso u^* \left( t \right) definita in t \in \left[ t_0 , t^* \right];

tali che il movimento dello stato x \left( t \right) raggiunga al tempo t^* lo stato zero x_0:

x \left( t^* \right) = x_0

11 L'insieme di controllabilità X_C \left( t^* \right) è l'insieme di tutti gli stati finali x^* controllabili al tempo t^* allo stato zero x_0 considerando tutti i possibili ingressi applicabili:

X_C \left( t^* \right) = \left\{ x^* : \; x^* \text{ controllabile allo stato zero } x_0 \text{ al tempo } t^* \right\}

L'insieme di controllabilità X_C \left( t^* \right) costituisce un sottospazio vettoriale dello spazio di stato X.

12 Il sottospazio di controllabilità X_C è il più grande insieme di controllabilità X_C \left( t \right):

X_C = \max_{t \in \left[ t_0 , + \infty \right)}{X_C \left( t \right)}

Un sistema è completamente controllabile se il sottospazio di controllabilità X_C coincide con lo spazio di stato X, cioè lo stato finale si può raggiungere a partire da un qualunque stato zero:

X_C = X

Se il sistema non è completamente controllabile, gli stati iniziali da cui non si può raggiungere lo stato finale costituiscono il sottospazio di non controllabilità X_{NC}, definito come il complemento ortogonale del sottospazio di controllabilità X_C:

X_{NC} = X_C^\bot : \; \begin{cases} X_{NC} \cap X_C = \varnothing \\ X_{NC} \cup X_C = X \end{cases}

14 Per i sistemi LTI a tempo continuo, le proprietà di raggiungibilità e controllabilità coincidono:

X_R = X_C

Per i sistemi LTI a tempo discreto, in generale il sottospazio di raggiungibilità X_R è incluso nel sottospazio di controllabilità X_C:

X_R \subseteq X_C

Se la matrice A è non singolare (invertibile), l'equivalenza delle due proprietà vale anche per i sistemi LTI a tempo discreto:

X_R = X_C

Problema della realizzazione[modifica]

48 Data la rappresentazione di un sistema LTI SISO in termini delle variabili di stato, la sua funzione di trasferimento H \left( \bullet \right) è univoca:

H \left( s \right) = \frac{b_n s^n + b_{n-1} s^{n-1} + \ldots + b_0}{a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \ldots + a_0} = C {\left( sI - A \right)}^{-1} B + D

49 Invece, data la funzione di trasferimento H \left( \bullet \right) di un sistema LTI SISO, la rappresentazione in termini delle variabili di stato non è univoca (problema della realizzazione).

51-52 Una possibile realizzazione è la forma canonica di raggiungibilità:

H \left( s \right) = \frac{b_n s^n + b_{n-1} s^{n-1} + \ldots + b_0}{a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \ldots + a_0} = \frac{d_{n-1} s^{n-1} + \ldots + d_0}{s^n + c_{n-1} s^{n-1} + \ldots + c_0}+ d_n \Rightarrow A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \\ - c_0 & - c_1 & \cdots & - c_{n-1} \end{bmatrix} , \; B = \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} , \; C = \begin{bmatrix} d_0 & d_1 & \cdots & d_{n-1} \end{bmatrix} , \; D = \begin{bmatrix} d_n \end{bmatrix}
  • la matrice A è in forma compagna inferiore → il polinomio caratteristico della matrice A è:
    p \left( A \right) = \det{\left( \lambda I - A \right)} = \lambda^n + c_{n-1} \lambda^{n-1} + \ldots + c_1 \lambda + c_0
  • il sistema dinamico individuato dalle matrici A, B, C e D è sempre completamente raggiungibile.
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