Controlli automatici/Raggiungibilità e controllabilità

Da WikiAppunti.
Nota disambigua.svg Il titolo di questa pagina non è corretto per via delle caratteristiche del software MediaWiki. Il titolo corretto è D18. Raggiungibilità e controllabilità.
Gtk-go-back-ltr.svg  C17. Stabilità dell'equilibrio di sistemi dinamici non lineari per linearizzazioneGtk-home.svg  Controlli automatici (D. Proprietà strutturali e leggi di controllo)D19. Retroazione statica dallo stato  Gtk-go-forward-ltr.svg

6 Le proprietà di raggiungibilità e controllabilità descrivono come le variazioni dell'ingresso possono modificare lo stato del sistema:

  • raggiungibilità: a partire da un particolare stato iniziale, si può raggiungere lo stato finale desiderato agendo sull'ingresso ?
  • controllabilità: a partire da un particolare stato finale, si può raggiungere lo stato iniziale desiderato agendo sull'ingresso ?

Raggiungibilità[modifica]

7 Uno stato si dice raggiungibile a partire dallo stato zero se esistono:

  • un istante di tempo ;
  • una funzione di ingresso definita in ;

tali che il movimento dello stato raggiunga al tempo lo stato finale :

16 In un sistema LTI con dimensione finita , lo spazio di stato si divide in due parti:

  • parte raggiungibile: il sottospazio di raggiungibilità di dimensione , a cui sono associati autovalori della matrice ;
  • parte non raggiungibile: il sottospazio di non raggiungibilità di dimensione , a cui sono associati autovalori della matrice .

8 L'insieme di raggiungibilità è l'insieme di tutti gli stati finali raggiungibili al tempo a partire dallo stato zero considerando tutti i possibili ingressi applicabili:

L'insieme di raggiungibilità costituisce un sottospazio vettoriale dello spazio di stato .

9 Il sottospazio di raggiungibilità è il più grande insieme di raggiungibilità :

29 La dimensione del sottospazio di raggiungibilità è pari al rango della matrice di raggiungibilità :

La matrice di raggiungibilità rappresenta il legame tra tutte le possibili variazioni degli ingressi in e tutti i possibili stati finali :

dove è il rango della matrice (è sempre pari a 1 se il sistema ha un solo ingresso):

Dimostrazione

Si ipotizza per semplicità:

  • il sistema LTI è a tempo discreto: ;
  • il sistema ha un solo ingresso: ;
  • il tempo iniziale corrisponde all'origine: ;
  • la condizione iniziale è nulla: .
Insieme di raggiungibilità al tempo

23-24 Si può ricavare il movimento dello stato al passo -esimo:

25 La matrice rappresenta il legame tra la sequenza di ingresso e lo stato . Pertanto, l'insieme di raggiungibilità corrisponde allo spazio immagine generato dalla combinazione lineare delle colonne della matrice :

Sottospazio di raggiungibilità

26 Determinare la dimensione del sottospazio di raggiungibilità significa determinare per quale istante la matrice ha rango massimo.

27-28 Il calcolo del rango di è equivalente al calcolo del rango di (teorema di Caley-Hamilton):

9 Gli stati finali che non si possono raggiungere dallo stato zero costituiscono il sottospazio di non raggiungibilità , definito come il complemento ortogonale del sottospazio di raggiungibilità :

17 L'ingresso agisce solo sulla parte raggiungibile → la parte raggiungibile non influenza la parte non raggiungibile. Tuttavia, la parte non raggiungibile può disturbare la parte raggiungibile → è possibile regolare opportunamente l'ingresso per compensare i disturbi della parte non raggiungibile.

9 Un sistema è completamente raggiungibile se il sottospazio di raggiungibilità coincide con lo spazio di stato , cioè a partire dallo stato zero si può raggiungere qualunque stato finale:

Controllabilità[modifica]

10 Uno stato si dice controllabile allo stato zero se esistono:

  • un istante di tempo ;
  • una funzione di ingresso definita in ;

tali che il movimento dello stato raggiunga al tempo lo stato zero :

11 L'insieme di controllabilità è l'insieme di tutti gli stati finali controllabili al tempo allo stato zero considerando tutti i possibili ingressi applicabili:

L'insieme di controllabilità costituisce un sottospazio vettoriale dello spazio di stato .

12 Il sottospazio di controllabilità è il più grande insieme di controllabilità :

Un sistema è completamente controllabile se il sottospazio di controllabilità coincide con lo spazio di stato , cioè lo stato finale si può raggiungere a partire da un qualunque stato zero:

Se il sistema non è completamente controllabile, gli stati iniziali da cui non si può raggiungere lo stato finale costituiscono il sottospazio di non controllabilità , definito come il complemento ortogonale del sottospazio di controllabilità :

14 Per i sistemi LTI a tempo continuo, le proprietà di raggiungibilità e controllabilità coincidono:

Per i sistemi LTI a tempo discreto, in generale il sottospazio di raggiungibilità è incluso nel sottospazio di controllabilità :

Se la matrice è non singolare (invertibile), l'equivalenza delle due proprietà vale anche per i sistemi LTI a tempo discreto:

Problema della realizzazione[modifica]

48 Data la rappresentazione di un sistema LTI SISO in termini delle variabili di stato, la sua funzione di trasferimento è univoca:

49 Invece, data la funzione di trasferimento di un sistema LTI SISO, la rappresentazione in termini delle variabili di stato non è univoca (problema della realizzazione).

51-52 Una possibile realizzazione è la forma canonica di raggiungibilità:

  • la matrice è in forma compagna inferiore → il polinomio caratteristico della matrice è:
  • il sistema dinamico individuato dalle matrici , , e è sempre completamente raggiungibile.
Nota disambigua.svg Il titolo di questa pagina non è corretto per via delle caratteristiche del software MediaWiki. Il titolo corretto è D18. Raggiungibilità e controllabilità.
Gtk-go-back-ltr.svg  C17. Stabilità dell'equilibrio di sistemi dinamici non lineari per linearizzazioneGtk-home.svg  Controlli automatici (D. Proprietà strutturali e leggi di controllo)D19. Retroazione statica dallo stato  Gtk-go-forward-ltr.svg