Controlli automatici/Osservabilità e rilevabilità

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4 Le proprietà di osservabilità e rilevabilità descrivono come stimare lo stato <math>x \left( \bullet \right)</math> mediante la misura del movimento dell'uscita <math>y \left( \bullet \right)</math> e dell'ingresso <math>u \left( \bullet \right)</math> su un dato intervallo di tempo:

  • osservabilità: stima dello stato iniziale del sistema;
  • rilevabilità: stima dello stato finale del sistema.

Osservabilità[modifica | modifica sorgente]

5 Uno stato <math>x^* \neq 0</math> si dice non osservabile nell'intervallo <math>\left[ t_0 , t^* \right]</math> se, per qualunque <math>t^* \in \left[ t_0 , + \infty \right]</math>, il movimento libero <math>y_\ell \left( t \right)</math> che parte dallo stato iniziale <math>x \left( t_0 \right) = x^* \neq 0</math> risulta:

<math>y_\ell \left( t \right) = 0 , \quad \forall t \in \left[ t_0 , t^* \right]</math>

12 In un sistema LTI con dimensione finita <math>n</math>, lo spazio di stato <math>X</math> si divide in due parti:

  • parte osservabile: il sottospazio di osservabilità <math>X_O</math> di dimensione <math>o < n</math>, a cui sono associati <math>o</math> autovalori della matrice <math>A</math>;
  • parte non osservabile: il sottospazio di non osservabilità <math>X_{NO}</math> di dimensione <math>n-o</math>, a cui sono associati <math>n-o</math> autovalori della matrice <math>A</math>.

6 L'insieme di non osservabilità <math>X_{NO} \left( t^* \right)</math> è l'insieme di tutti gli stati iniziali <math>x^*</math> non osservabili nell'intervallo <math>\left[ t_0 , t^* \right]</math>, cioè gli stati iniziali <math>x^* \neq 0</math> che non possono essere stimati (perché il movimento libero <math>y_\ell \left( t \right)</math> è sempre nullo).

L'insieme di non osservabilità <math>X_{NO} \left( t^* \right)</math> costituisce un sottospazio vettoriale dello spazio di stato <math>X</math>. L'insieme di non osservabilità diventa sempre più piccolo al passare del tempo <math>t^*</math> perché sempre più stati iniziali diventano osservabili → il sottospazio di non osservabilità <math>X_{NO}</math> è il più piccolo insieme di non osservabilità <math>X_{NO} \left( t \right)</math>:

<math>X_{NO} = \min_{t \in \left[ t_0 , + \infty \right)}{X_{NO} \left( t \right)}</math>

22 Il sottospazio di non osservabilità <math>X_{NO}</math> è pari allo spazio nullo <math>\mathcal{N} \left( \cdot \right)</math> della matrice di osservabilità <math>M_O</math>:

<math>X_{NO} = \mathcal{N}{ \left( M_O \right)}</math>

dove la matrice di osservabilità <math>M_O</math> è definita:

<math>M_O = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ \vdots \\ C A^{n-1} \end{bmatrix}</math>
Dimostrazione

_{M_O \left( \ell \right)} x \left( 0 \right) = M_O \left( \ell \right) x \left( 0 \right)</math>

Pertanto, l'insieme di non osservabilità <math>X_{NO} \left( \ell \right)</math> corrisponde allo spazio nullo (o kernel o nucleo) <math>\mathcal{N} \left( \cdot \right)</math> generato dalla combinazione lineare delle colonne della matrice <math>M_O \left( \ell \right)</math> (infatti ogni stato iniziale non osservabile corrisponde a una sequenza di uscita interamente nulla):

<math>X_{NO} \left( \ell \right) = \mathcal{N} \left( M_O \left( \ell \right) \right) = \ker{\left( M_O \left( \ell \right) \right)} = \left\{ x : \; Y \left( \ell \right) = M_O \left( \ell \right) \cdot x = \vec 0 \right\}</math>
Sottospazio di osservabilità <math>X_O</math>

21 Si può dimostrare che la dimensione del sottospazio di non osservabilità <math>X_{NO}</math> è minima all'istante <math>\ell</math> in cui la matrice <math>M_O \left( \ell \right)</math> è quadrata, cioè <math>\ell = n-1</math>. }}

7-22 Gli stati iniziali <math>x^*</math> osservabili nell'intervallo <math>\left[ t_0 , t^* \right]</math> costituiscono il sottospazio di osservabilità <math>X_{O}</math>, definito come il complemento ortogonale del sottospazio di osservabilità <math>X_{NO}</math>, che per le proprietà dell'algebra lineare è pari allo spazio immagine[1] <math>\mathcal{R} {\left( \cdot \right)}</math> della trasposta della matrice di osservabilità <math>M_O</math>:

<math>X_{O} = X_{NO}^\bot = {\left[ \mathcal{N} \left( M_O \right) \right]}^\bot = \mathcal{R} \left( M_O^T \right) = \mathcal{R} \left( \begin{bmatrix} C^T & A^T C^T & \cdots & {A^T}^{n-1} C^T \end{bmatrix} \right) : \; \begin{cases} X_{O} \cap X_{NO} = \varnothing \\ X_{O} \cup X_{NO} = X \end{cases}</math>

23 La dimensione <math>o</math> del sottospazio di osservabilità <math>X_O</math> è pari al rango della matrice di osservabilità <math>M_O</math>:

<math>o = \rho{\left( M_O \right)}</math>

13 L'uscita <math>y \left( \bullet \right)</math> è influenzata solo dalla parte osservabile → la parte non osservabile non influenza la parte osservabile. Tuttavia, la parte osservabile può disturbare la parte non osservabile.

7-23 Un sistema è completamente osservabile se il sottospazio di osservabilità <math>X_O</math> coincide con lo spazio di stato <math>X</math>, cioè è possibile stimare qualunque stato iniziale <math>x^* \neq 0 </math>:

<math>X_O = X \Leftrightarrow o = \rho \left( M_O \right) = n</math>

Rilevabilità[modifica | modifica sorgente]

8 Uno stato <math>x^* = x \left( t^* \right)</math> si dice non rilevabile nell'intervallo <math>\left[ t_0 , t^* \right]</math> se, per qualunque <math>t^* \in \left[ t_0 , + \infty \right]</math>, il movimento libero <math>y_\ell \left( t \right)</math> che ha come stato finale <math>x \left( t^* \right) = x^* \neq 0</math> risulta:

<math>y_\ell \left( t \right) = 0 , \quad \forall t \in \left[ t_0 , t^* \right]</math>

L'insieme di non rilevabilità <math>X_{ND} \left( t^* \right)</math> è l'insieme di tutti gli stati finali <math>x^*</math> non rilevabili nell'intervallo <math>\left[ t_0 , t^* \right]</math>, cioè gli stati finali <math>x^* \neq 0</math> che non possono essere stimati (perché il movimento libero <math>y_\ell \left( t \right)</math> è sempre nullo).

9 L'insieme di non rilevabilità diventa sempre più piccolo al passare del tempo <math>t^*</math> perché sempre più stati finali diventano rilevabili → il sottospazio di non rilevabilità <math>X_{ND}</math> è il più piccolo insieme di non rilevabilità <math>X_{ND} \left( t \right)</math>:

<math>X_{ND} = \min_{t \in \left[ t_0 , + \infty \right)}{X_{ND} \left( t \right)}</math>

Un sistema è completamente rilevabile se il sottospazio di rilevabilità <math>X_D</math> coincide con lo spazio di stato <math>X</math>, cioè è possibile stimare qualunque stato finale <math>x^* \neq 0 </math>:

<math>X_D = X</math>

Se il sistema non è completamente rilevabile, gli stati finali che possono essere stimati costituiscono il sottospazio di rilevabilità <math>X_{ND}</math>, definito come il complemento ortogonale del sottospazio di rilevabilità <math>X_D</math>:

<math>X_{D} = X_{ND}^\bot : \; \begin{cases} X_{D} \cap X_{ND} = \varnothing \\ X_{D} \cup X_{ND} = X \end{cases}</math>

10 Per i sistemi LTI a tempo continuo, le proprietà di osservabilità e rilevabilità coincidono:

<math>X_O = X_D</math>

Per i sistemi LTI a tempo discreto, in generale il sottospazio di osservabilità <math>X_O</math> è incluso nel sottospazio di rilevabilità <math>X_D</math>:

<math>X_O \subseteq X_D</math>

Se la matrice <math>A</math> è non singolare (invertibile), l'equivalenza delle due proprietà vale anche per i sistemi LTI a tempo discreto:

<math>X_O = X_R</math>

Problema della realizzazione[modifica | modifica sorgente]

41 Data la rappresentazione di un sistema LTI SISO in termini delle variabili di stato, la sua funzione di trasferimento <math>H \left( \bullet \right)</math> è univoca:

<math>H \left( s \right) = \frac{b_n s^n + b_{n-1} s^{n-1} + \ldots + b_0}{a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \ldots + a_0} = C {\left( sI - A \right)}^{-1} B + D</math>

Invece, data la funzione di trasferimento <math>H \left( \bullet \right)</math> di un sistema LTI SISO, la rappresentazione in termini delle variabili di stato non è univoca (problema della realizzazione).

43-44 Una possibile realizzazione è la forma canonica di osservabilità:

<math>H \left( s \right) = \frac{b_n s^n + b_{n-1} s^{n-1} + \ldots + b_0}{a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \ldots + a_0} = \frac{d_{n-1} s^{n-1} + \ldots + d_0}{s^n + c_{n-1} s^{n-1} + \ldots + c_0}+ d_n \Rightarrow A = \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 & -c_0 \\ 1 & \ddots & \ddots & - c_1 \\ 0 & \ddots & 0 & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & - c_{n-1} \end{bmatrix} , \; B = \begin{bmatrix} d_0 \\ d_1 \\ \vdots \\ d_{n-1} \end{bmatrix} , \; C = \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix} , \; D = \begin{bmatrix} d_n \end{bmatrix}</math>
  • la matrice <math>A</math> è in forma compagna destra (è la trasposta della matrice <math>A</math> compagna inferiore della forma canonica di raggiungibilità) → il polinomio caratteristico della matrice <math>A</math> è:
    <math>p \left( A \right) = \det{\left( \lambda I - A \right)} = \lambda^n + c_{n-1} \lambda^{n-1} + \ldots + c_1 \lambda + c_0</math>
  • il sistema dinamico individuato dalle matrici <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> e <math>D</math> è sempre completamente osservabile.

Principio di dualità[modifica | modifica sorgente]

51 Il principio di dualità si basa sulle analogie tra le proprietà di raggiungibilità e di osservabilità.

52 Dato un sistema primale <math>S^P \left( A, B, C, D \right)</math>:

<math>\begin{cases} \dot x (t) = A x (t) + B u (t) \\ y (t) = C x (t) + D u (t) \end{cases} , \quad x (t) \in \R^n , \; u (t) \in \R^p, \; y(t) \in \R^q</math>

si può ottenere il sistema duale <math>S^D \left( A^T , C^T , B^T , D^T \right)</math> scambiando i ruoli degli ingressi e delle uscite:

<math>\begin{cases} \dot w (t) = A^T w (t) + C^T v (t) \\ z (t) = B^T w (t) + D^T v (t) \end{cases} , \quad w (t) \in \R^n , \; v (t) \in \R^q, \; z(t) \in \R^p</math>

53 Si ricorda che il sistema primale <math>S^P</math> ha il seguente sottospazio di raggiungibilità <math>X_R^P</math>:

<math>X_R^P = \mathcal{R} \left( M_R^P \right) = \mathcal{R} \left( \begin{bmatrix} B & AB & \cdots & A^{n-1} B \end{bmatrix} \right)</math>

e ha il seguente sottospazio di osservabilità <math>X_O^P</math>:

<math>X_O^P = \mathcal{R} \left( {\left( M_O^P \right)}^T \right) = \mathcal{R} \left( \begin{bmatrix} C^T & A^T C^T & \cdots & {A^T}^{n-1} C^T \end{bmatrix} \right)</math>

54 Il sottospazio di osservabilità <math>X_O^D</math> del sistema duale <math>S^D</math> coincide con il sottospazio di raggiungibilità <math>X_R</math> del sistema primale <math>S^P</math>:

<math>X_O^D = \mathcal{R} \left( {\left( M_O^D \right)}^T \right) = \mathcal{R} \left( \begin{bmatrix} B & AB & \cdots & A^{n-1} B \end{bmatrix} \right) = X_R</math>

e il sottospazio di raggiungibilità <math>X_R^D</math> del sistema duale <math>S^D</math> coincide con il sottospazio di osservabilità <math>X_O^P</math> del sistema primale <math>S^P</math>:

<math>X_O^P = X_R^D</math>
55 Principio di dualità
  • Il sistema primale <math>S^P</math> è completamente raggiungibile se e solo se il sistema duale <math>S^D</math> è completamente osservabile.
  • Il sistema primale <math>S^P</math> è completamente osservabile se e solo se il sistema duale <math>S^D</math> è completamente raggiungibile.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. Lo spazio immagine di una matrice è la combinazione lineare delle sue colonne.
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