Controlli automatici/Osservabilità e rilevabilità

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4 Le proprietà di osservabilità e rilevabilità descrivono come stimare lo stato x \left( \bullet \right) mediante la misura del movimento dell'uscita y \left( \bullet \right) e dell'ingresso u \left( \bullet \right) su un dato intervallo di tempo:

  • osservabilità: stima dello stato iniziale del sistema;
  • rilevabilità: stima dello stato finale del sistema.

Osservabilità[modifica]

5 Uno stato x^* \neq 0 si dice non osservabile nell'intervallo \left[ t_0 , t^* \right] se, per qualunque t^* \in \left[ t_0 , + \infty \right], il movimento libero y_\ell \left( t \right) che parte dallo stato iniziale x \left( t_0 \right) = x^* \neq 0 risulta:

y_\ell \left( t \right) = 0 , \quad \forall t \in \left[ t_0 , t^* \right]

12 In un sistema LTI con dimensione finita n, lo spazio di stato X si divide in due parti:

  • parte osservabile: il sottospazio di osservabilità X_O di dimensione o < n, a cui sono associati o autovalori della matrice A;
  • parte non osservabile: il sottospazio di non osservabilità X_{NO} di dimensione n-o, a cui sono associati n-o autovalori della matrice A.

6 L'insieme di non osservabilità X_{NO} \left( t^* \right) è l'insieme di tutti gli stati iniziali x^* non osservabili nell'intervallo \left[ t_0 , t^* \right], cioè gli stati iniziali x^* \neq 0 che non possono essere stimati (perché il movimento libero y_\ell \left( t \right) è sempre nullo).

L'insieme di non osservabilità X_{NO} \left( t^* \right) costituisce un sottospazio vettoriale dello spazio di stato X. L'insieme di non osservabilità diventa sempre più piccolo al passare del tempo t^* perché sempre più stati iniziali diventano osservabili → il sottospazio di non osservabilità X_{NO} è il più piccolo insieme di non osservabilità X_{NO} \left( t \right):

X_{NO} = \min_{t \in \left[ t_0 , + \infty \right)}{X_{NO} \left( t \right)}

22 Il sottospazio di non osservabilità X_{NO} è pari allo spazio nullo \mathcal{N} \left( \cdot \right) della matrice di osservabilità M_O:

X_{NO} = \mathcal{N}{ \left( M_O \right)}

dove la matrice di osservabilità M_O è definita:

M_O = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ \vdots \\ C A^{n-1} \end{bmatrix}
Dimostrazione

18 Si ipotizza per semplicità:

  • il sistema LTI è a tempo discreto: x \left( k+1 \right) = A x \left( k \right) + B u \left( k \right);
  • il sistema ha una sola uscita: q=1;
  • il tempo iniziale corrisponde all'origine: t_0 = 0;
  • l'ingresso è nullo: u \left( k \right) = 0 , \quad \forall k.
Insieme di osservabilità X_O \left( \ell \right) al tempo \ell

Si può ricavare il movimento dell'uscita al passo \ell-esimo:

\begin{array}{l} y \left( 0 \right) = y_\ell \left( 0 \right) = C x \left( 0 \right) \\
y \left( 1 \right) = y_\ell \left( 1 \right) = C x \left( 1 \right) = C A x \left( 0 \right) \\
y \left( 2 \right) = y_\ell \left( 2 \right) = C  x \left( 2 \right) = C A x \left( 1 \right) = C A^2 x \left( 0 \right) \\
\vdots \\
x \left( \ell \right) = y_\ell \left( \ell \right) = C x \left( \ell \right) = CA x \left( \ell -1 \right) = \ldots = C A^\ell x \left( 0 \right) \end{array}

19-20 La matrice M_O \left( \ell \right) rappresenta il legame tra la sequenza di uscita e lo stato x \left( 0 \right):

Y \left( \ell \right) = \begin{bmatrix} y \left( 0 \right) \\ y \left( 1 \right) \\ y \left( 2 \right) \\ \vdots \\ y \left( \ell \right) \end{bmatrix} = \underbrace{\begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^\ell \end{bmatrix}}_{M_O \left( \ell \right)} x \left( 0 \right) = M_O \left( \ell \right) x \left( 0 \right)

Pertanto, l'insieme di non osservabilità X_{NO} \left( \ell \right) corrisponde allo spazio nullo (o kernel o nucleo) \mathcal{N} \left( \cdot \right) generato dalla combinazione lineare delle colonne della matrice M_O \left( \ell \right) (infatti ogni stato iniziale non osservabile corrisponde a una sequenza di uscita interamente nulla):

X_{NO} \left( \ell \right) = \mathcal{N} \left( M_O \left( \ell \right) \right) = \ker{\left( M_O \left( \ell \right) \right)} = \left\{ x : \; Y \left( \ell \right) = M_O \left( \ell \right) \cdot x = \vec 0 \right\}
Sottospazio di osservabilità X_O

21 Si può dimostrare che la dimensione del sottospazio di non osservabilità X_{NO} è minima all'istante \ell in cui la matrice M_O \left( \ell \right) è quadrata, cioè \ell = n-1.

7-22 Gli stati iniziali x^* osservabili nell'intervallo \left[ t_0 , t^* \right] costituiscono il sottospazio di osservabilità X_{O}, definito come il complemento ortogonale del sottospazio di osservabilità X_{NO}, che per le proprietà dell'algebra lineare è pari allo spazio immagine[1] \mathcal{R} {\left( \cdot \right)} della trasposta della matrice di osservabilità M_O:

X_{O} = X_{NO}^\bot = {\left[ \mathcal{N} \left( M_O \right) \right]}^\bot = \mathcal{R} \left( M_O^T \right) = \mathcal{R} \left( \begin{bmatrix} C^T & A^T C^T & \cdots & {A^T}^{n-1} C^T \end{bmatrix} \right) : \; \begin{cases} X_{O} \cap X_{NO} = \varnothing \\ X_{O} \cup X_{NO} = X \end{cases}

23 La dimensione o del sottospazio di osservabilità X_O è pari al rango della matrice di osservabilità M_O:

o = \rho{\left( M_O \right)}

13 L'uscita y \left( \bullet \right) è influenzata solo dalla parte osservabile → la parte non osservabile non influenza la parte osservabile. Tuttavia, la parte osservabile può disturbare la parte non osservabile.

7-23 Un sistema è completamente osservabile se il sottospazio di osservabilità X_O coincide con lo spazio di stato X, cioè è possibile stimare qualunque stato iniziale x^* \neq 0 :

X_O = X \Leftrightarrow o = \rho \left( M_O \right) = n

Rilevabilità[modifica]

8 Uno stato x^* = x \left( t^* \right) si dice non rilevabile nell'intervallo \left[ t_0 , t^* \right] se, per qualunque t^* \in \left[ t_0 , + \infty \right], il movimento libero y_\ell \left( t \right) che ha come stato finale x \left( t^* \right) = x^* \neq 0 risulta:

y_\ell \left( t \right) = 0 , \quad \forall t \in \left[ t_0 , t^* \right]

L'insieme di non rilevabilità X_{ND} \left( t^* \right) è l'insieme di tutti gli stati finali x^* non rilevabili nell'intervallo \left[ t_0 , t^* \right], cioè gli stati finali x^* \neq 0 che non possono essere stimati (perché il movimento libero y_\ell \left( t \right) è sempre nullo).

9 L'insieme di non rilevabilità diventa sempre più piccolo al passare del tempo t^* perché sempre più stati finali diventano rilevabili → il sottospazio di non rilevabilità X_{ND} è il più piccolo insieme di non rilevabilità X_{ND} \left( t \right):

X_{ND} = \min_{t \in \left[ t_0 , + \infty \right)}{X_{ND} \left( t \right)}

Un sistema è completamente rilevabile se il sottospazio di rilevabilità X_D coincide con lo spazio di stato X, cioè è possibile stimare qualunque stato finale x^* \neq 0 :

X_D = X

Se il sistema non è completamente rilevabile, gli stati finali che possono essere stimati costituiscono il sottospazio di rilevabilità X_{ND}, definito come il complemento ortogonale del sottospazio di rilevabilità X_D:

X_{D} = X_{ND}^\bot : \; \begin{cases} X_{D} \cap X_{ND} = \varnothing \\ X_{D} \cup X_{ND} = X \end{cases}

10 Per i sistemi LTI a tempo continuo, le proprietà di osservabilità e rilevabilità coincidono:

X_O = X_D

Per i sistemi LTI a tempo discreto, in generale il sottospazio di osservabilità X_O è incluso nel sottospazio di rilevabilità X_D:

X_O \subseteq X_D

Se la matrice A è non singolare (invertibile), l'equivalenza delle due proprietà vale anche per i sistemi LTI a tempo discreto:

X_O = X_R

Problema della realizzazione[modifica]

41 Data la rappresentazione di un sistema LTI SISO in termini delle variabili di stato, la sua funzione di trasferimento H \left( \bullet \right) è univoca:

H \left( s \right) = \frac{b_n s^n + b_{n-1} s^{n-1} + \ldots + b_0}{a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \ldots + a_0} = C {\left( sI - A \right)}^{-1} B + D

Invece, data la funzione di trasferimento H \left( \bullet \right) di un sistema LTI SISO, la rappresentazione in termini delle variabili di stato non è univoca (problema della realizzazione).

43-44 Una possibile realizzazione è la forma canonica di osservabilità:

H \left( s \right) = \frac{b_n s^n + b_{n-1} s^{n-1} + \ldots + b_0}{a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \ldots + a_0} = \frac{d_{n-1} s^{n-1} + \ldots + d_0}{s^n + c_{n-1} s^{n-1} + \ldots + c_0}+ d_n \Rightarrow A = \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 & -c_0 \\ 1 & \ddots & \ddots & - c_1 \\ 0 & \ddots & 0 & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & - c_{n-1} \end{bmatrix} , \; B = \begin{bmatrix} d_0 \\ d_1 \\ \vdots \\ d_{n-1} \end{bmatrix} , \; C = \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix} , \; D = \begin{bmatrix} d_n \end{bmatrix}
  • la matrice A è in forma compagna destra (è la trasposta della matrice A compagna inferiore della forma canonica di raggiungibilità) → il polinomio caratteristico della matrice A è:
    p \left( A \right) = \det{\left( \lambda I - A \right)} = \lambda^n + c_{n-1} \lambda^{n-1} + \ldots + c_1 \lambda + c_0
  • il sistema dinamico individuato dalle matrici A, B, C e D è sempre completamente osservabile.

Principio di dualità[modifica]

51 Il principio di dualità si basa sulle analogie tra le proprietà di raggiungibilità e di osservabilità.

52 Dato un sistema primale S^P \left( A, B, C, D \right):

\begin{cases} \dot x (t) = A x (t) + B u (t) \\ y (t) = C x (t) + D u (t) \end{cases} , \quad x (t) \in \R^n , \; u (t) \in \R^p, \; y(t) \in \R^q

si può ottenere il sistema duale S^D \left( A^T , C^T , B^T , D^T \right) scambiando i ruoli degli ingressi e delle uscite:

\begin{cases} \dot w (t) = A^T w (t) + C^T v (t) \\ z (t) = B^T w (t) + D^T v (t) \end{cases} , \quad w (t) \in \R^n , \; v (t) \in \R^q, \; z(t) \in \R^p

53 Si ricorda che il sistema primale S^P ha il seguente sottospazio di raggiungibilità X_R^P:

X_R^P = \mathcal{R} \left( M_R^P \right) = \mathcal{R} \left( \begin{bmatrix} B & AB & \cdots & A^{n-1} B \end{bmatrix} \right)

e ha il seguente sottospazio di osservabilità X_O^P:

X_O^P = \mathcal{R} \left( {\left( M_O^P \right)}^T \right) = \mathcal{R} \left( \begin{bmatrix} C^T & A^T C^T & \cdots & {A^T}^{n-1} C^T \end{bmatrix} \right)

54 Il sottospazio di osservabilità X_O^D del sistema duale S^D coincide con il sottospazio di raggiungibilità X_R del sistema primale S^P:

X_O^D = \mathcal{R} \left( {\left( M_O^D \right)}^T \right) = \mathcal{R} \left( \begin{bmatrix} B & AB & \cdots & A^{n-1} B \end{bmatrix} \right) = X_R

e il sottospazio di raggiungibilità X_R^D del sistema duale S^D coincide con il sottospazio di osservabilità X_O^P del sistema primale S^P:

X_O^P = X_R^D
55 Principio di dualità
  • Il sistema primale S^P è completamente raggiungibile se e solo se il sistema duale S^D è completamente osservabile.
  • Il sistema primale S^P è completamente osservabile se e solo se il sistema duale S^D è completamente raggiungibile.

Note[modifica]

  1. Lo spazio immagine di una matrice è la combinazione lineare delle sue colonne.
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