Controlli automatici/Osservabilità e rilevabilità

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4 Le proprietà di osservabilità e rilevabilità descrivono come stimare lo stato mediante la misura del movimento dell'uscita e dell'ingresso su un dato intervallo di tempo:

  • osservabilità: stima dello stato iniziale del sistema;
  • rilevabilità: stima dello stato finale del sistema.

Osservabilità[modifica]

5 Uno stato si dice non osservabile nell'intervallo se, per qualunque , il movimento libero che parte dallo stato iniziale risulta:

12 In un sistema LTI con dimensione finita , lo spazio di stato si divide in due parti:

  • parte osservabile: il sottospazio di osservabilità di dimensione , a cui sono associati autovalori della matrice ;
  • parte non osservabile: il sottospazio di non osservabilità di dimensione , a cui sono associati autovalori della matrice .

6 L'insieme di non osservabilità è l'insieme di tutti gli stati iniziali non osservabili nell'intervallo , cioè gli stati iniziali che non possono essere stimati (perché il movimento libero è sempre nullo).

L'insieme di non osservabilità costituisce un sottospazio vettoriale dello spazio di stato . L'insieme di non osservabilità diventa sempre più piccolo al passare del tempo perché sempre più stati iniziali diventano osservabili → il sottospazio di non osservabilità è il più piccolo insieme di non osservabilità :

22 Il sottospazio di non osservabilità è pari allo spazio nullo della matrice di osservabilità :

dove la matrice di osservabilità è definita:

Dimostrazione

18 Si ipotizza per semplicità:

  • il sistema LTI è a tempo discreto: ;
  • il sistema ha una sola uscita: ;
  • il tempo iniziale corrisponde all'origine: ;
  • l'ingresso è nullo: .
Insieme di osservabilità al tempo

Si può ricavare il movimento dell'uscita al passo -esimo:

19-20 La matrice rappresenta il legame tra la sequenza di uscita e lo stato :

Pertanto, l'insieme di non osservabilità corrisponde allo spazio nullo (o kernel o nucleo) generato dalla combinazione lineare delle colonne della matrice (infatti ogni stato iniziale non osservabile corrisponde a una sequenza di uscita interamente nulla):

Sottospazio di osservabilità

21 Si può dimostrare che la dimensione del sottospazio di non osservabilità è minima all'istante in cui la matrice è quadrata, cioè .

7-22 Gli stati iniziali osservabili nell'intervallo costituiscono il sottospazio di osservabilità , definito come il complemento ortogonale del sottospazio di osservabilità , che per le proprietà dell'algebra lineare è pari allo spazio immagine[1] della trasposta della matrice di osservabilità :

23 La dimensione del sottospazio di osservabilità è pari al rango della matrice di osservabilità :

13 L'uscita è influenzata solo dalla parte osservabile → la parte non osservabile non influenza la parte osservabile. Tuttavia, la parte osservabile può disturbare la parte non osservabile.

7-23 Un sistema è completamente osservabile se il sottospazio di osservabilità coincide con lo spazio di stato , cioè è possibile stimare qualunque stato iniziale :

Rilevabilità[modifica]

8 Uno stato si dice non rilevabile nell'intervallo se, per qualunque , il movimento libero che ha come stato finale risulta:

L'insieme di non rilevabilità è l'insieme di tutti gli stati finali non rilevabili nell'intervallo , cioè gli stati finali che non possono essere stimati (perché il movimento libero è sempre nullo).

9 L'insieme di non rilevabilità diventa sempre più piccolo al passare del tempo perché sempre più stati finali diventano rilevabili → il sottospazio di non rilevabilità è il più piccolo insieme di non rilevabilità :

Un sistema è completamente rilevabile se il sottospazio di rilevabilità coincide con lo spazio di stato , cioè è possibile stimare qualunque stato finale :

Se il sistema non è completamente rilevabile, gli stati finali che possono essere stimati costituiscono il sottospazio di rilevabilità , definito come il complemento ortogonale del sottospazio di rilevabilità :

10 Per i sistemi LTI a tempo continuo, le proprietà di osservabilità e rilevabilità coincidono:

Per i sistemi LTI a tempo discreto, in generale il sottospazio di osservabilità è incluso nel sottospazio di rilevabilità :

Se la matrice è non singolare (invertibile), l'equivalenza delle due proprietà vale anche per i sistemi LTI a tempo discreto:

Problema della realizzazione[modifica]

41 Data la rappresentazione di un sistema LTI SISO in termini delle variabili di stato, la sua funzione di trasferimento è univoca:

Invece, data la funzione di trasferimento di un sistema LTI SISO, la rappresentazione in termini delle variabili di stato non è univoca (problema della realizzazione).

43-44 Una possibile realizzazione è la forma canonica di osservabilità:

  • la matrice è in forma compagna destra (è la trasposta della matrice compagna inferiore della forma canonica di raggiungibilità) → il polinomio caratteristico della matrice è:
  • il sistema dinamico individuato dalle matrici , , e è sempre completamente osservabile.

Principio di dualità[modifica]

51 Il principio di dualità si basa sulle analogie tra le proprietà di raggiungibilità e di osservabilità.

52 Dato un sistema primale :

si può ottenere il sistema duale scambiando i ruoli degli ingressi e delle uscite:

53 Si ricorda che il sistema primale ha il seguente sottospazio di raggiungibilità :

e ha il seguente sottospazio di osservabilità :

54 Il sottospazio di osservabilità del sistema duale coincide con il sottospazio di raggiungibilità del sistema primale :

e il sottospazio di raggiungibilità del sistema duale coincide con il sottospazio di osservabilità del sistema primale :

55 Principio di dualità
  • Il sistema primale è completamente raggiungibile se e solo se il sistema duale è completamente osservabile.
  • Il sistema primale è completamente osservabile se e solo se il sistema duale è completamente raggiungibile.

Note[modifica]

  1. Lo spazio immagine di una matrice è la combinazione lineare delle sue colonne.
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