Controlli automatici/Modellistica di sistemi dinamici termici

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11-12 Per rappresentare un sistema dinamico termico in termini delle variabili di stato, occorre in ordine:

  1. scrivere le equazioni dinamiche di equilibrio termico per ogni corpo omogeneo non termostatato avente capacità termica <math>C_i</math> e temperatura assoluta <math>\theta_i</math>;
  2. introdurre una variabile di stato per ogni corpo omogeneo non termostatato di capacità termica <math>C_i</math>, scegliendo in particolare la temperatura assoluta <math>\theta_i</math>;
  3. associare una variabile di ingresso ad ogni portata di calore esterna applicata al sistema termico, e ad ogni temperatura assoluta di un corpo omogeneo ideale termostatato (in quanto imposta dal mondo esterno);
  4. ricavare le equazioni di stato del tipo:
    <math>{\dot x}_i \left( t \right) = f_i \left( t , x \left( t \right) , u \left( t \right) \right)</math>
a partire dalle precedenti equazioni dinamiche di equilibrio termico;
  1. ricavare le equazioni di uscita del tipo:
<math>y_k \left( t \right) = g_k \left( t , x \left( t \right) , u \left( t \right) \right)</math>

Equazioni dinamiche di equilibrio termico[modifica | modifica sorgente]

7 Per ogni corpo omogeneo ideale non termostatato (= la temperatura assoluta <math>\theta_i</math> non è imposta dall'esterno) di capacità termica <math>C_i</math> vale la legge di equilibrio termico delle portate di calore:

<math>C_i {\dot \theta}_i \left( t \right) = \sideset{}{_k}\sum{ p_k^{\text{est}} \left( t \right) } - \sideset{}{_j^{j \neq i}}\sum{p_{ij}^{\text{int}} \left( t \right)}</math>

9 Il segno meno indica che le portate di calore interne <math>p_{ij}^{\text{int}}</math> trasmettono il calore agli altri corpi <math>C_j</math>, riducendo la portata termica d'inerzia di <math>C_i</math>.

Portate di calore esterne[modifica | modifica sorgente]

7 Le portate di calore esterne <math>p_k^{\text{est}}</math> tengono conto dell'azione del mondo esterno sul corpo <math>C_i</math> e compaiono con:

  • segno positivo se forniscono calore al corpo (generatori di calore, effetto Joule, combustione);
  • segno negativo se prelevano calore dal corpo (refrigeratori, pompe di calore).

4 L'equazione dinamica della temperatura di un corpo puntiforme di capacità termica <math>C</math> dovuto a una portata di calore <math>p \left( t \right)</math> applicata è:

<math>C \dot{ \theta} \left( t \right) = p (t)</math>

Portate di calore interne[modifica | modifica sorgente]

Thermal conductor system.png

5-8 Le portate di calore interne <math>p_{ij}^{\text{int}}</math> tengono conto dell'interazione tra il corpo <math>C_i</math> considerato e gli altri corpi <math>C_j</math> tramite conduttori termici ideali di conduttanza termica <math>K_{ij}</math>:

<math>p_{ij}^{\text{int}} (t) = K_{ij} \left[ \theta_i (t) - \theta_j (t) \right]</math>
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