Controlli automatici/Modellistica di sistemi dinamici meccanici

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Rappresentazione in variabili di stato di sistemi meccanici in traslazione[modifica]

12-13 Per rappresentare un sistema dinamico meccanico in termini delle variabili di stato, occorre in ordine:

  1. scrivere le equazioni del moto per ogni corpo puntiforme di massa M_i (eventualmente nulla) in traslazione, avente posizione p_i e velocità v_i = {\dot p}_i;
  2. introdurre due variabili di stato per ogni corpo M_i in traslazione, scegliendo in particolare la posizione p_i e la velocità {\dot p}_i, in modo da trasformare ogni equazione del moto (equazione differenziale del II ordine) in una coppia di equazioni differenziali del I ordine;
  3. associare una variabile di ingresso ad ogni forza esterna applicata al sistema meccanico in traslazione;
  4. ricavare le equazioni di stato del tipo:
    {\dot x}_i \left( t \right) = f_i \left( t , x \left( t \right) , u \left( t \right) \right)
a partire dalle precedenti equazioni del moto;
  1. ricavare le equazioni di uscita del tipo:
y_k \left( t \right) = g_k \left( t , x \left( t \right) , u \left( t \right) \right)

Equazioni del moto[modifica]

8 In un sistema composto da più corpi puntiformi in traslazione, dopo aver introdotto un sistema di riferimento (assi di riferimento), per ogni corpo M_i con posizione p_i e velocità v = \dot p vale la seconda legge di Newton:

M_i {\ddot p}_i \left( t \right) = \sideset{}{_k}\sum{ F_k^{\text{est}} \left( t \right) } - \sideset{}{_j^{j \neq i}}\sum{F_{ij}^{\text{int}} \left( t \right)}

10 Il segno meno indica che le forze interne F_{ij}^{\text{int}} trasmettono il moto agli altri corpi M_j, riducendo la forza d'inerzia di M_i.

Forze esterne[modifica]

8 Le forze esterne F_k^{\text{est}} tengono conto dell'azione del mondo esterno sul corpo M_i.

4 L'equazione generale del moto di traslazione di un corpo puntiforme di massa M dovuto a forze esterne F_i \left( t \right) agenti sul corpo è:

M \ddot{p} \left( t \right) = F \left( t \right) = \sideset{}{_i}\sum{ F_i \left( t \right) }

Le forze lungo il sistema di riferimento sono positive, mentre le forze in direzione opposta sono negative.

5 Forza elastica di una molla ideale di coefficiente di elasticità K
Translating spring system.png
F \left( t \right) = K \left[ p_+ \left( t \right) - p_- \left( t \right) \right]
6 Forza di attrito viscoso di uno smorzatore ideale di smorzamento \beta
Translating damper system.png
F \left( t \right) = \beta \left[ {\dot{p}}_+ \left( t \right) - {\dot{p}}_- \left( t \right) \right]

Forze interne[modifica]

9 Le forze interne F_{ij}^{\text{int}} tengono conto dell'interazione tra il corpo M_i considerato e gli altri corpi M_j tramite molle o smorzatori:

  • molle ideali K_{ij}:
    F_{ij}^{\text{int}} \left( t \right) = K_{ij} \left[ p_i \left( t \right) - p_j \left( t \right) \right]
  • smorzatori ideali \beta_{ij}:
    F_{ij}^{\text{int}} \left( t \right) = \beta_{ij} \left[ {\dot p}_i \left( t \right) - {\dot p}_j \left( t \right) \right]

24 Si può modellizzare il fenomeno dell'attrito radente mediante uno smorzamento equivalente avente un'estremità fissa e lo smorzamento \beta_i uguale al coefficiente d'attrito viscoso.

Applicazione: levitatore magnetico[modifica]

Sistema levitatore magnetico.png

25 Una sfera metallica di massa M è tenuta sospesa dall'equilibrio tra la forza peso e la forza elettromagnetica f \left( t \right) generata da un elettromagnete attraverso cui scorre una corrente i \left( t \right):

f \left( t \right) = k_i \frac{i^2 \left( t \right)}{p^2 \left( t \right)}

Nella realtà basta un infinitesimo spostamento della sfera perché essa cada o venga attirata contro l'elettromagnete → serve un sistema di controllo automatico che, attraverso un trasduttore ottico di posizione, regoli la corrente i \left( t \right) per bilanciare queste oscillazioni infinitesime e mantenere l'equilibrio.

Equazioni di stato
\begin{cases} {\dot{x}}_1 = x_2 \\  {\dot{x}}_2 = g - \frac{k_1}{M} \frac{u^2}{ {x_1}^2} \end{cases}
Equazione di uscita
y = x_1

Rappresentazione in variabili di stato di sistemi meccanici in rotazione[modifica]

49-50 Per rappresentare un sistema dinamico meccanico in termini delle variabili di stato, occorre in ordine:

  1. scrivere le equazioni del moto per ogni corpo puntiforme di inerzia J_i (eventualmente nulla) in rotazione, avente posizione angolare \theta_i e velocità angolare \omega = {\dot \theta}_i;
  2. introdurre due variabili di stato per ogni corpo J_i in rotazione, scegliendo in particolare la posizione angolare \theta_i e la velocità angolare {\dot \theta}_i, in modo da trasformare ogni equazione del moto (equazione differenziale del II ordine) in una coppia di equazioni differenziali del I ordine;
  3. associare una variabile di ingresso ad ogni coppia esterna applicata al sistema meccanico in rotazione;
  4. ricavare le equazioni di stato del tipo:
    {\dot x}_i \left( t \right) = f_i \left( t , x \left( t \right) , u \left( t \right) \right)
a partire dalle precedenti equazioni del moto;
  1. ricavare le equazioni di uscita del tipo:
y_k \left( t \right) = g_k \left( t , x \left( t \right) , u \left( t \right) \right)

Equazioni del moto[modifica]

45 In un sistema composto da più corpi puntiformi in rotazione, dopo aver introdotto un sistema di riferimento (versi di rotazione), per ogni corpo J_i con posizione angolare \theta_i e velocità angolare \omega = \dot \theta vale la seconda legge di Newton:

J_i {\ddot \theta}_i \left( t \right) = \sideset{}{_k}\sum{ T_k^{\text{est}} \left( t \right) } - \sideset{}{_j^{j \neq i}}\sum{T_{ij}^{\text{int}} \left( t \right)}

La velocità angolare \omega = \dot \theta è rappresentata da un vettore non rotazionale determinato dalla regola della mano destra.

47 Il segno meno indica che le coppie interne T_{ij}^{\text{int}} trasmettono il moto agli altri corpi J_j, riducendo la coppia d'inerzia di J_i.

Coppie esterne[modifica]

45 Le coppie esterne J_k^{\text{est}} tengono conto dell'azione del mondo esterno sul corpo J_i.

41 L'equazione generale del moto di rotazione di un corpo puntiforme di inerzia J dovuto a coppie esterne T_i \left( t \right) agenti sul corpo è:

J \ddot \theta \left( t \right) = T \left( t \right) = \sideset{}{_i}\sum{T_i \left( t \right)}

Le coppie nel verso di rotazione concorde con il sistema di riferimento sono positive, mentre le coppie nel verso di rotazione opposto sono negative.

42 Coppia elastica di una molla ideale di coefficiente di elasticità torsionale K
Rotating spring system.png
T \left( t \right) = K \left[ \theta_+ \left( t \right) - \theta_- \left( t \right) \right]
43 Coppia di attrito di uno smorzatore ideale di smorzamento \beta
Rotating damper system.png
T \left( t \right) = \beta \left[ {\dot \theta}_+ \left( t \right) - {\dot \theta}_- \left( t \right) \right]

Coppie interne[modifica]

46 Le coppie interne T_{ij}^{\text{int}} tengono conto dell'interazione tra il corpo J_i considerato e gli altri corpi J_j tramite molle o smorzatori:

  • molle ideali K_{ij}:
    T_{ij}^{\text{int}} \left( t \right) = K_{ij} \left[ \theta_i \left( t \right) - \theta_j \left( t \right) \right]
  • smorzatori ideali \beta_{ij}:
    T_{ij}^{\text{int}} \left( t \right) = \beta_{ij} \left[ {\dot \theta}_i \left( t \right) - {\dot \theta}_j \left( t \right) \right]
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