Controlli automatici/Modellistica di sistemi dinamici elettromeccanici

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4 I sistemi elettromeccanici operano una conversione elettromeccanica:

  • motori elettrici: convertono l'energia elettrica in energia meccanica;
  • generatori elettrici (o dinamo elettriche): convertono l'energia meccanica in energia elettrica.

In questo capitolo verrà trattato il motore elettrico alimentato in corrente continua (DC).

Struttura e modello[modifica]

Struttura interna di un motore elettrico alimentato in corrente continua (DC) (qui lo statore è costituito da magneti permanenti)
Modello di un motore elettrico alimentato in corrente continua (DC) (qui lo statore è costituito da un circuito di eccitazione)

Statore[modifica]

9 Lo statore genera il campo magnetico \vec B \left( t \right) mediante:

  • magneti permanenti: sono ingombranti e pesanti;
e/o
  • 15 circuito di eccitazione (solenoide): è necessario alimentarlo con una corrente continua detta corrente di eccitazione i_e \left( t \right):
    v_e (t) = R_e i_e (t) + L_e \frac{di_e(t)}{dt}

Rotore[modifica]

6-7-10 Il rotore è la parte rotante del motore, ed è costituita da una serie di spire conduttrici di superfici A, isolate tra loro, che, essendo immerse nel campo magnetico \vec B \left( t \right) generato dallo statore, per la legge di Faraday-Henry-Lenz dell'induzione elettromagnetica:

e \left( t \right) = - \frac{d \phi \left( t \right)}{dt}

sono percorse da una corrente indotta i_a \left( t \right), la quale concatenandosi sottopone la spira alla coppia di Lorentz T \left( t \right):

T (t) = i_a(t) AB \sin{\left( \theta (t) \right)}

14 Il modello elettrico del rotore è descritto da:

v_a (t) = R_a i_a (t) + L_a \frac{di_a (t)}{dt} + e(t)

17 dove la forza elettromotrice indotta e(t) è direttamente proporzionale a \phi (t) \omega (t) tramite una costante di proporzionalità K chiamata costante caratteristica del motore:

e(t) = K \phi (t) \omega (t)

Collettore a spazzole[modifica]

11 La coppia di Lorentz è massima quando il versore normale della spira è perpendicolare al vettore di campo magnetico \vec B (\theta = 0^\circ), ed è nulla quando il versore normale della spira è parallelo ad esso (\theta = 90^\circ) → ogni spira viene alimentata con la corrente di armatura i_a (t) da un interruttore rotante chiamato collettore a spazzole, o anello di Pacinotti, solo quando nella rotazione entra a contatto con le spazzole, cioè nella posizione di massima coppia di Lorentz. Le spazzole sono soggette ad usura perché sono realizzate mediante contatti in carboncino.

Albero motore[modifica]

12-16 L'albero motore, collegato meccanicamente alla carcassa tramite dei cuscinetti a sfera, trasferisce l'energia meccanica a un carico che oppone una coppia resistente T_r (t):

J \ddot \theta (t) = T_m (t) - T_r (t) - \beta \omega (t)

dove:

  • T_m è la coppia motrice del motore:
    T_m (t) = K \phi (t) i_a (t)
  • \beta è il coefficiente di attrito equivalente che tiene conto dei fenomeni d'attrito (cuscinetti).

Modalità di funzionamento[modifica]

Comando di armatura[modifica]

21 Nel motore DC con comando di armatura, il flusso magnetico dello statore è tenuto costante:

\phi (t) = \bar \phi , \quad \forall t

utilizzando magneti permanenti e/o alimentando il circuito di eccitazione con una corrente costante {\bar i}_e → l'equazione del circuito di eccitazione è di tipo statico:

v_e (t) = R_e {\bar i}_e + L_e \cancel{\frac{d {\bar i}_e}{dt}} = R_e {\bar i}_e = {\bar v}_e , \quad \forall t
22 Equazioni dinamiche
\begin{cases} v_a (t) = R_a i_a (t) + L_a \frac{di_a (t)}{dt} + K \bar{\phi} \omega (t) \\ J \ddot \theta (t) = K \bar \phi i_a (t) - T_r (t) - \beta \omega (t) \end{cases}
Variabili di stato
\begin{cases} x_1 (t) = i_a (t) \\ x_2 (t) = \theta (t) \\ x_3 (t) = \omega (t) \end{cases}
Variabili di ingresso
\begin{cases} u_1 (t) = v_a (t) \\ u_2 (t) = T_r (t) \end{cases}
Matrici dell'equazione di stato
A= \begin{bmatrix} - \frac{R_a}{L_a} & 0 & - \frac{k \bar \phi}{L_a} \\ 0 & 0 & 1 \\ \frac{k \bar \phi}{J} & 0 & - \frac{\beta}{J} \end{bmatrix}
B= \begin{bmatrix} - \frac{1}{L_a} & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & - \frac{1}{J} \end{bmatrix}

Il termine alla prima riga e terza colonna della matrice A la differenzia dalla matrice A del motore a comando di eccitazione, e rappresenta la retroazione interna del sistema.

Comando di eccitazione[modifica]

24 Nel motore DC con comando di eccitazione, la corrente di armatura è tenuta costante:

i_a (t) = {\bar i}_a , \quad \forall t

utilizzando un generatore ideale di corrente {\bar i}_a → l'equazione del circuito di armatura è di tipo statico:

v_a (t) = R_a {\bar i}_a + L_a \cancel{\frac{d {\bar i}_a}{dt}} + K \phi (t) \omega (t) , \quad \forall t

18 Il flusso magnetico dello statore dipende in maniera non lineare dalla corrente di eccitazione i_e (t):

Non-linear energizing command DC engine.png

25 La caratteristica non lineare del flusso si può approssimare con la legge lineare:

\phi (t) \approx K_e i_e (t)
27 Equazioni dinamiche
\begin{cases} v_e (t) = R_e i_e (t) + L_e \frac{d i_e (t)}{dt} \\
J \ddot \theta (t) = K \underbrace{\phi (t)}_{\approx K_e i_e (t)} {\bar i}_a - T_r (t) - \beta \omega (t) \end{cases}
Variabili di stato
\begin{cases} x_1 (t) = i_e (t) \\ x_2 (t) = \theta (t) \\ x_3 (t) = \omega (t) \end{cases}
Variabili di ingresso
\begin{cases} u_1 (t) = v_e (t) \\ u_2 (t) = T_r (t) \end{cases}
Matrici dell'equazione di stato
A= \begin{bmatrix} - \frac{R_a}{L_a} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \frac{k \bar \phi}{J} & 0 & - \frac{\beta}{J} \end{bmatrix}
B= \begin{bmatrix} - \frac{1}{L_a} & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & - \frac{1}{J} \end{bmatrix}
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