Controlli automatici/Margini di stabilità

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4-5 Tra il comportamento del sistema vero e il modello utilizzato per rappresentarlo ci possono essere delle discrepanze che causano delle variazioni rispetto alla funzione d'anello nominale , in particolare:

  • variazioni di dovute all'incertezza e alla scarsa accuratezza del modello del processo;
  • variazioni di dovute a problemi nella realizzazione pratica del compensatore.

6-7 L'asintotica stabilità del sistema controllato deve essere mantenuta anche in condizioni perturbate: si parla in tal caso di stabilità robusta. Il grado di robustezza del sistema a fronte di variazioni del suo modello nominale è valutato attraverso opportuni indicatori di robustezza, che permettono di quantificare l'ampiezza delle massime perturbazioni sul modello che garantiscono il mantenimento dell'asintotica stabilità del sistema.

Margini di guadagno e di fase[modifica]

26-27 Se:

  • il guadagno è positivo;
  • la funzione d'anello nominale è a minima rotazione di fase, cioè non ha singolarità (poli e zeri) a parte reale positiva ();
  • esiste una sola pulsazione per cui il modulo risulta unitario → il diagramma polare della funzione d'anello nominale interseca una volta la circonferenza di raggio unitario;
  • esiste una sola pulsazione di valore finito per cui la fase vale → il diagramma polare della funzione d'anello nominale interseca una volta il semiasse reale negativo;

allora:

  • i margini di stabilità di guadagno e di fase sono leggibili facilmente dai diagrammi di Bode della funzione d'anello nominale ;
  • il sistema è asintoticamente stabile se e solo se i margini di guadagno e di fase risultano positivi.

Margine di guadagno[modifica]

11 Data una funzione d'anello nominale che nel diagramma polare interseca il semiasse reale negativo nell'unico punto corrispondente alla pulsazione , il guadagno è un fattore moltiplicativo (positivo) che rappresenta le variazioni del modulo rispetto alla funzione d'anello nominale :

12-13 Aumentando il guadagno , il modulo della funzione d'anello aumenta ed il punto di intersezione si sposta verso sinistra → quando il punto di intersezione raggiunge il punto critico il sistema esce dalle condizioni di asintotica stabilità.

14 Il margine di guadagno corrisponde al fattore moltiplicativo per cui il punto di intersezione raggiunge il punto critico :

15 Le variazioni del guadagno non devono superare il margine di guadagno affinché il sistema rimanga in condizioni di asintotica stabilità. Il grado di robustezza aumenta all'aumentare del margine di guadagno .

28 Un sistema è detto a stabilità regolare se risulta asintoticamente stabile per qualunque valore positivo del guadagno non superiore alla soglia massima determinata dal margine di guadagno .

Gain margin.png

16-17 Il margine di guadagno può essere letto agevolmente sui diagrammi di Bode della funzione d'anello : esso corrisponde, sul diagramma del modulo, alla distanza dall'asse delle ascisse in cui il modulo vale , in corrispondenza della pulsazione alla quale la fase vale :

Margine di fase[modifica]

19-23 Sia data una funzione d'anello nominale che nel diagramma polare interseca la circonferenza di raggio unitario nell'unico punto corrispondente alla pulsazione , detta pulsazione critica (o di cross-over, o di taglio).

20-21 A causa per esempio della presenza di un ritardo temporale nell'anello di retroazione, la fase della funzione d'anello in corrispondenza della pulsazione critica diminuisce ed il punto di intersezione si sposta verso l'asse reale → quando il punto di intersezione raggiunge il punto critico il sistema esce dalle condizioni di asintotica stabilità.

22 Il margine di fase corrisponde alla perdita di fase per cui il punto di intersezione raggiunge il punto critico :

23 La perdita di fase alla pulsazione critica non deve superare il margine di fase affinché il sistema rimanga in condizioni di asintotica stabilità. Il grado di robustezza aumenta all'aumentare del margine di fase .

Phase margin.png

24 Il margine di fase può essere letto agevolmente sui diagrammi di Bode della funzione d'anello : esso corrisponde, sul diagramma della fase, alla distanza dall'asse in cui la fase vale , in corrispondenza della pulsazione critica alla quale il modulo vale :

Estensioni delle definizioni dei margini[modifica]

Se non tutte le condizioni prima elencate sono soddisfatte è necessario ricavare i margini di stabilità dal diagramma polare:

  1. 32-34 il diagramma polare interseca più volte l'asse reale: possono presentarsi vari casi, tra cui i sistemi a stabilità marginale (o condizionata): il guadagno deve mantenersi al di sopra del margine di attenuazione e al di sotto del margine di amplificazione ;
  2. 38 il diagramma polare interseca più volte la circonferenza unitaria: il margine di fase deve essere letto in corrispondenza del punto di intersezione più vicino all'asse reale;
  3. 44 la funzione d'anello non è a minima rotazione di fase.

Picco di risonanza[modifica]

47-51 Il picco di risonanza della funzione di trasferimento in catena chiusa è approssimabile al valore massimo del suo modulo in corrispondenza della pulsazione di risonanza :

  • se la funzione d'anello non ha poli nell'origine:
  • se la funzione d'anello ha almeno un polo nell'origine:
Dimostrazione

48 Se la funzione di trasferimento in catena chiusa ha una coppia di poli complessi coniugati, il suo picco di risonanza dipende dallo smorzamento dei poli:

49-50 Il picco di risonanza è un indicatore di stabilità "indiretto": più lo smorzamento è piccolo e la coppia di poli è vicina all'asse immaginario, più il picco di risonanza è elevato e il sistema è vicino alla condizione di instabilità. Valori tipici del picco di risonanza sono dell'ordine di qualche dB, da per a per .

54 Luoghi a modulo costante nel diagramma di Nyquist

55 Affinché il picco di risonanza sia inferiore ad un certo valore limite desiderato:

53 il diagramma di Nyquist della funzione d'anello deve essere esterno per tutti i valori di alla circonferenza corrispondente al valore limite :

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