Controlli automatici/Margini di stabilità

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4-5 Tra il comportamento del sistema vero e il modello utilizzato per rappresentarlo ci possono essere delle discrepanze che causano delle variazioni rispetto alla funzione d'anello nominale {G_a}_f (s), in particolare:

  • variazioni di F(s) dovute all'incertezza e alla scarsa accuratezza del modello del processo;
  • variazioni di C(s) dovute a problemi nella realizzazione pratica del compensatore.

6-7 L'asintotica stabilità del sistema controllato deve essere mantenuta anche in condizioni perturbate: si parla in tal caso di stabilità robusta. Il grado di robustezza del sistema a fronte di variazioni del suo modello nominale è valutato attraverso opportuni indicatori di robustezza, che permettono di quantificare l'ampiezza delle massime perturbazioni sul modello che garantiscono il mantenimento dell'asintotica stabilità del sistema.

Margini di guadagno e di fase[modifica]

26-27 Se:

  • il guadagno K_C è positivo;
  • la funzione d'anello nominale {G_a}_f (s) è a minima rotazione di fase, cioè non ha singolarità (poli e zeri) a parte reale positiva (n_{i,a} =0);
  • esiste una sola pulsazione \omega per cui il modulo \left| {G_a}_f (s) \right| risulta unitario → il diagramma polare della funzione d'anello nominale {G_a}_f (s) interseca una volta la circonferenza di raggio unitario;
  • esiste una sola pulsazione \omega di valore finito per cui la fase \ang {G_a}_f (s) vale - {180}^\circ → il diagramma polare della funzione d'anello nominale {G_a}_f (s) interseca una volta il semiasse reale negativo;

allora:

  • i margini di stabilità di guadagno m_G e di fase m_\varphi sono leggibili facilmente dai diagrammi di Bode della funzione d'anello nominale {G_a}_f (s);
  • il sistema è asintoticamente stabile se e solo se i margini di guadagno {m_G}_{\text{dB}} e di fase m_\varphi risultano positivi.

Margine di guadagno[modifica]

11 Data una funzione d'anello nominale {G_a}_f (s) che nel diagramma polare interseca il semiasse reale negativo nell'unico punto \left( x_A , 0 \right) corrispondente alla pulsazione \omega_\pi, il guadagno K_C è un fattore moltiplicativo (positivo) che rappresenta le variazioni del modulo rispetto alla funzione d'anello nominale {G_a}_f (s):

G_a (s) = K_C {G_a}_f (s)

12-13 Aumentando il guadagno K_C, il modulo della funzione d'anello G_a(s) aumenta ed il punto di intersezione si sposta verso sinistra → quando il punto di intersezione raggiunge il punto critico \left( -1, 0 \right) il sistema esce dalle condizioni di asintotica stabilità.

14 Il margine di guadagno m_G corrisponde al fattore moltiplicativo K_C per cui il punto di intersezione raggiunge il punto critico \left( -1 , 0 \right):

m_G = \frac{1}{\left| x_A \right|} , \quad -1 < x_A < 0

15 Le variazioni del guadagno K_C non devono superare il margine di guadagno m_G affinché il sistema rimanga in condizioni di asintotica stabilità. Il grado di robustezza aumenta all'aumentare del margine di guadagno m_G.

28 Un sistema è detto a stabilità regolare se risulta asintoticamente stabile per qualunque valore positivo del guadagno K_C non superiore alla soglia massima determinata dal margine di guadagno m_G.

Gain margin.png

16-17 Il margine di guadagno m_G può essere letto agevolmente sui diagrammi di Bode della funzione d'anello G_a (s): esso corrisponde, sul diagramma del modulo, alla distanza dall'asse delle ascisse in cui il modulo vale 1 = 0 \text{ dB}, in corrispondenza della pulsazione \omega_\pi alla quale la fase vale - {180}^\circ:

\begin{cases} {m_G}_{\text{dB}} = - {\left| G_a \left( j \omega_\pi \right) \right|}_{\text{dB}} \\ \ang G_a \left( j \omega_\pi \right) = - {180}^\circ \end{cases}

Margine di fase[modifica]

19-23 Sia data una funzione d'anello nominale {G_a}_f (s) che nel diagramma polare interseca la circonferenza di raggio unitario nell'unico punto 1 e^{j \varphi_C} corrispondente alla pulsazione \omega_c, detta pulsazione critica (o di cross-over, o di taglio).

20-21 A causa per esempio della presenza di un ritardo temporale nell'anello di retroazione, la fase della funzione d'anello G_a(s) in corrispondenza della pulsazione critica \omega_c diminuisce ed il punto di intersezione si sposta verso l'asse reale → quando il punto di intersezione raggiunge il punto critico \left( -1, 0 \right) il sistema esce dalle condizioni di asintotica stabilità.

22 Il margine di fase m_\varphi corrisponde alla perdita di fase per cui il punto di intersezione raggiunge il punto critico \left( -1 , 0 \right):

m_\varphi = {180}^\circ + \varphi_C , \quad - {180}^\circ < \varphi_C < - {90}^\circ

23 La perdita di fase alla pulsazione critica \omega_c non deve superare il margine di fase m_\varphi affinché il sistema rimanga in condizioni di asintotica stabilità. Il grado di robustezza aumenta all'aumentare del margine di fase m_\varphi.

Phase margin.png

24 Il margine di fase m_\varphi può essere letto agevolmente sui diagrammi di Bode della funzione d'anello G_a (s): esso corrisponde, sul diagramma della fase, alla distanza dall'asse in cui la fase vale - {180}^\circ, in corrispondenza della pulsazione critica \omega_c alla quale il modulo vale 1 = 0 \text{ dB}:

\begin{cases} m_\varphi = {180}^\circ + \ang G_a \left( j \omega_c \right) \\ {\left| G_a \left( j \omega_c \right) \right|}_{\text{dB}} = 0 \end{cases}

Estensioni delle definizioni dei margini[modifica]

Se non tutte le condizioni prima elencate sono soddisfatte è necessario ricavare i margini di stabilità dal diagramma polare:

  1. 32-34 il diagramma polare interseca più volte l'asse reale: possono presentarsi vari casi, tra cui i sistemi a stabilità marginale (o condizionata): il guadagno K_C deve mantenersi al di sopra del margine di attenuazione {m_G}_1 e al di sotto del margine di amplificazione {m_G}_2;
  2. 38 il diagramma polare interseca più volte la circonferenza unitaria: il margine di fase m_\varphi deve essere letto in corrispondenza del punto di intersezione più vicino all'asse reale;
  3. 44 la funzione d'anello G_a (s) non è a minima rotazione di fase.

Picco di risonanza[modifica]

47-51 Il picco di risonanza M_r della funzione di trasferimento in catena chiusa W_y (s) è approssimabile al valore massimo {W_y}_r del suo modulo in corrispondenza della pulsazione di risonanza \omega_r:

M_r = \frac{ {W_y}_r }{\left| W_y \left( 0 \right) \right|} , \quad {W_y}_r =  \left| W_y \left( j \omega_r \right) \right| = \max{\left\{ \left| W_y \left( j \omega \right) \right| \right\}}
  • se la funzione d'anello G_a(s) non ha poli nell'origine:
    M_r \approx {W_y}_r
  • se la funzione d'anello G_a(s) ha almeno un polo nell'origine:
    M_r = {W_y}_r
Dimostrazione
W_y (s) = \frac{G_a (s)}{1+ G_a (s)} = \frac{N(s)}{s + N(s)} , \quad G_a(s) = \frac{N(s)}{s}
W_y (0) = \frac{N(0)}{0 + N(0)} = 1 \Rightarrow M_r = \frac{ {W_y}_r }{\left| W_y \left( 0 \right) \right|} = {W_y}_r

48 Se la funzione di trasferimento in catena chiusa W_y (s) ha una coppia di poli complessi coniugati, il suo picco di risonanza M_r dipende dallo smorzamento \zeta dei poli:

M_r \approx \left| W_y \left( j \omega_r \right) \right| = \frac{1}{2 \zeta \sqrt{1- \zeta^2}} , \quad \begin{cases} 0 < \zeta < \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \omega_r = \omega_n \sqrt{1- 2 \zeta^2} \end{cases}

49-50 Il picco di risonanza M_r è un indicatore di stabilità "indiretto": più lo smorzamento \zeta è piccolo e la coppia di poli è vicina all'asse immaginario, più il picco di risonanza M_r è elevato e il sistema è vicino alla condizione di instabilità. Valori tipici del picco di risonanza M_r sono dell'ordine di qualche dB, da 5 \text{ dB} per \zeta = 0,3 a 1 \text{ dB} per \zeta = 0,5.

54 Luoghi a modulo costante nel diagramma di Nyquist

55 Affinché il picco di risonanza M_r sia inferiore ad un certo valore limite {M_r}_{\text{lim}} desiderato:

M_r \leq {M_r}_{\text{lim}}

53 il diagramma di Nyquist della funzione d'anello G_a (s) deve essere esterno per tutti i valori di \omega alla circonferenza corrispondente al valore limite {M_r}_{\text{lim}}:

{\left( \mathcal{R} \left\{ G_a \left( j \omega \right) \right\} - {\mathcal{R}}_0 \right)}^2 + {\left( \mathcal{I}  \left\{ G_a \left( j \omega \right) \right\} \right)}^2 = \rho^2 , \quad \begin{cases} {\mathcal{R}}_0 = \frac{{M_r}_{\text{lim}}^2}{1- {M_r}_{\text{lim}}^2} \\ \rho = \frac{{M_r}_{\text{lim}}}{\left| 1 - {M_r}_{\text{lim}}^2 \right|} \end{cases}
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