Controlli automatici/Linearizzazione di sistemi dinamici

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7 La linearizzazione di un sistema dinamico non lineare stazionario ne approssima, mediante lo sviluppo di Taylor del primo ordine, il comportamento a un modello dinamico lineare, detto sistema dinamico linearizzato.

Linearizzazione di sistemi a tempo continuo[modifica | modifica sorgente]

8-9-10-14 Il sistema dinamico linearizzato può essere espresso in funzione delle perturbazioni <math>\delta x ( t )</math>, <math>\delta u( t )</math> e <math>\delta y( t )</math> dall'intorno del movimento nominale di riferimento (<math>\tilde x ( t )</math>, <math>\tilde u ( t )</math>, <math>\tilde y ( t )</math>):

<math>\begin{cases} \dot x (t) = f \left( x(t) , u(t) \right) \\ y (t) = g \left( x(t) , u(t) \right) \\ x \left( t=0 \right) = x_0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \dot{\delta x} (t) = A (t) \delta x (t) + B (t) \delta u(t) , & x(t) = \tilde x (t) + \delta x (t) \\ \delta y (t) = C (t) \delta x (t) + D (t) \delta u(t) , & y(t) = \tilde y (t) + \delta y (t) \\ \delta x \left( t=0 \right) = x \left( t=0 \right) - {\tilde x}_0 , & u (t) = \tilde u (t) + \delta u(t) \end{cases}</math>

11-12-13 dove le matrici <math>A ( t )</math>, <math>B( t )</math>, <math>C( t )</math> e <math>D( t )</math> sono le matrici jacobiane di <math>f \left( x, u \right)</math>:

  • <math>A( t )</math> e <math>C( t )</math> sono jacobiani di <math>f</math> rispetto ad <math>x</math>:
    <math>A( t ) = {\left. \frac{\partial f \left( x,u \right)}{\partial x} \right|}_{x = \tilde x , u = \tilde u} = {\left. \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n} \end{bmatrix} \right|}_{x = \tilde x , u = \tilde u} \in {\R}^{n \times n}</math>
    <math>C( t ) = {\left. \frac{\partial g \left( x,u \right)}{\partial x} \right|}_{x = \tilde x , u = \tilde u} = {\left. \begin{bmatrix} \frac{\partial g_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial g_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial g_q}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial g_q}{\partial x_n} \end{bmatrix} \right|}_{x = \tilde x , u = \tilde u} \in {\R}^{q \times n}</math>
  • <math>B ( t )</math> e <math>D( t )</math> sono jacobiani di <math>f</math> rispetto ad <math>u</math>:
    <math>B( t ) = {\left. \frac{\partial f \left( x,u \right)}{\partial u} \right|}_{x = \tilde x , u = \tilde u} = {\left. \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial u_p} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial u_p} \end{bmatrix} \right|}_{x = \tilde x , u = \tilde u} \in {\R}^{n \times p}</math>
    <math>D( t ) = {\left. \frac{\partial g \left( x,u \right)}{\partial u} \right|}_{x = \tilde x , u = \tilde u} = {\left. \begin{bmatrix} \frac{\partial g_1}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial g_1}{\partial u_p} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial g_q}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial g_q}{\partial u_p} \end{bmatrix} \right|}_{x = \tilde x , u = \tilde u} \in {\R}^{q \times p}</math>

16 Se il movimento nominale è un punto di equilibrio <math>\left( \bar x, \bar u \right)</math>, allora le matrici <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> e <math>D</math> del sistema linearizzato sono costanti e il sistema linearizzato è LTI:

<math>\begin{cases} \dot{\delta x} (t) = A \delta x (t) + B \delta u (t) \\ \delta y (t) = C \delta x (t) + D \delta u (t) \end{cases}</math>

Linearizzazione di sistemi a tempo discreto[modifica | modifica sorgente]

15 Il sistema dinamico linearizzato può essere espresso in funzione delle perturbazioni <math>\delta x ( k )</math>, <math>\delta u( k )</math> e <math>\delta y( k )</math> dall'intorno del movimento nominale (<math>\tilde x ( k )</math>, <math>\tilde u ( k )</math>, <math>\tilde y ( k )</math>):

<math>\begin{cases} x \left( k+1 \right) = f \left( x(k) , u(k) \right) \\ y (k) = g \left( x(k) , u(k) \right) \\ x \left( k=0 \right) = x_0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \delta x \left( k+1 \right) = A (k) \delta x (k) + B (k) \delta u(k) , & x(k) = \tilde x (k) + \delta x (k) \\ \delta y (k) = C (k) \delta x (k) + D (k) \delta u(k) , & y(k) = \tilde y (k) + \delta y (k) \\ \delta x \left( k=0 \right) = x \left( k=0 \right) - {\tilde x}_0 , & u (k) = \tilde u (k) + \delta u(k) \end{cases}</math>

16 Se il movimento nominale è un punto di equilibrio <math>\left( \bar x, \bar u \right)</math>, allora le matrici <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> e <math>D</math> del sistema linearizzato sono costanti e il sistema linearizzato è LTI:

<math>\begin{cases} \delta x \left( k+1 \right) = A \delta x (k) + B \delta u (k) \\ \delta y (k) = C \delta x (k) + D \delta u (k) \end{cases}</math>
Nota disambigua.svg Il titolo di questa pagina non è corretto per via delle caratteristiche del software MediaWiki. Il titolo corretto è C13. Linearizzazione di sistemi dinamici.
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