Controlli automatici/Funzione di sensibilità

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Sensibilità parametrica[modifica]

Funzione di sensibilità rispetto a una variazione parametrica[modifica]

5 La funzione di sensibilità S_p^{W_y} della funzione di trasferimento in catena chiusa W_y (s) rispetto ad un parametro p:

S_p^{W_y} = \frac{\frac{\partial W_y (s)}{W_y (s)}}{\frac{\partial p}{p}}

dove:

  • \tfrac{\partial W_y (s)}{W_y (s)} è la variazione relativa della funzione W_y(s) come conseguenza della variazione del parametro p;
  • \tfrac{\partial p}{p} è la variazione relativa del parametro p;

4-6 misura l'influenza di variazioni sul parametro p sulla fedeltà di risposta del sistema controllato:

  • se la funzione di sensibilità S_p^{W_y} è molto minore di 1, la funzione W_y(s) risulta poco sensibile alle variazioni del parametro p, e quindi la risposta del sistema non varia significativamente al variare del parametro p;
  • se la funzione di sensibilità S_p^{W_y} è prossima a 1 o maggiore, la funzione W_y(s) risulta molto sensibile alle variazioni del parametro p, e quindi la risposta del sistema varia pesantemente al variare del parametro p.

Sensibilità del sistema[modifica]

10-12 Separando la sensibilità di W_y(s) rispetto a G_a(s) e la sensibilità di G_a(s) rispetto a p:

S_p^{W_y} = S_{G_a}^{W_y} \cdot S_p^{G_a} = \underbrace{\frac{\frac{\partial W_y (s)}{W_y (s)}}{\frac{\partial G_a (s)}{G_a (s)}}}_{S_{G_a}^{W_y}} \cdot \underbrace{\frac{\frac{\partial G_a (s)}{G_a (s)}}{\frac{\partial p}{p}}}_{S_p^{G_a}}

11-13-30 si definisce sensibilità del sistema S(s) la funzione di sensibilità S_{G_a}^{W_y} della funzione di trasferimento W_y(s) rispetto alla funzione d'anello G_a(s):

S(s) \triangleq S_{G_a}^{W_y} = \frac{\frac{\partial W_y (s)}{W_y (s)}}{\frac{\partial G_a (s)}{G_a (s)}} = \frac{1}{1+G_a(s)} \Rightarrow S(s) + W_y(s) = 1
8-9 Dimostrazione
S_p^{W_y} = \frac{\partial W_y (s)}{\partial p} \cdot \frac{p}{W_y (s)} = \underbrace{\frac{\partial W_y (s)}{\partial G_a (s)} \cdot \frac{\partial G_a (s)}{\partial p}}_{\frac{\partial W_y (s)}{\partial p}} \cdot \frac{p}{W_y (s)} \cdot \frac{G_a (s)}{G_a (s)} = \underbrace{\frac{\partial W_y (s)}{\partial G_a (s)} \cdot \frac{G_a (s)}{W_y (s)}}_{S_{G_a}^{W_y} = S(s)} \cdot \underbrace{\frac{\partial G_a (s)}{\partial p} \cdot \frac{p}{G_a (s)}}_{S_p^{G_a}}
\begin{cases} W_y (s) = \frac{G_a(s)}{1+G_a(s)} \\ S(s) = \frac{\partial W_y (s)}{\partial G_a (s)} \cdot \frac{G_a (s)}{W_y (s)} \end{cases} \Rightarrow S(s) = \frac{1}{1+G_a(s)} \Rightarrow S(s) + W_y(s) = \frac{1}{1+G_a(s)} + \frac{G_a(s)}{1+G_a(s)} = 1
  • se le variazioni parametriche riguardano la funzione C(s) del controllore, la sensibilità S_p^{W_y} del sistema in catena chiusa può essere contenuta sia agendo sulla "qualità realizzativa" del controllore per ridurre la funzione di sensibilità S_p^{G_a}, sia riducendo la sensibilità S (s);
  • se le variazioni parametriche riguardano la funzione F(s) del sistema da controllare, la sensibilità S_p^{W_y} del sistema in catena chiusa può essere contenuta solo riducendo la sensibilità S(s).
22 Possibili andamenti in frequenza del modulo della sensibilità S(s) del sistema[1]

In presenza di ingressi e/o disturbi sinusoidali, la sensibilità S(s) è bassa solo in bassa frequenza:

  • 23-26 il sistema riesce ad inseguire con buona precisione un ingresso di riferimento sinusoidale r(t):
    r(t)= \sin{\left( \omega_0 t \right)}
solo se la pulsazione \omega_0 del segnale è a bassa frequenza:
S(s) \equiv W_{e,y} (s) = \frac{e(s)}{y_{\text{des}} (s)} \Rightarrow E = \left| W_e \left( j \omega_0 \right) \right| = \left| K_r \right| \left| W_{e,y} \left( j \omega_0 \right) \right| = \left| K_r \right| \left| S \left( j \omega_0 \right) \right|
  • 24-27 il sistema è poco sensibile a un disturbo sinusoidale {d_y}_{\text{sin}} (t) posto sull'uscita y(t):
{d_y}_{\text{sin}} (t) = D_s \sin{\left( \omega_d t \right)}
solo se la pulsazione \omega_d del segnale è a bassa frequenza:
S(s) \equiv W_{{d_y}_{\text{sin}}} (s) = \frac{{d_y}_{\text{sin}} (s)}{y(s)} \Rightarrow Y_{d,p} = D_s \left| W_{{d_y}_{\text{sin}}} \left( j \omega_d \right) \right| = D_s \left| S \left( j \omega_d \right) \right|
  • 25-28 il sistema è poco sensibile a un disturbo sinusoidale {d_u}_{\text{sin}} (t) posto sul comando u(t):
{d_u}_{\text{sin}} (t) = D_s \sin{\left( \omega_d t \right)}
solo se la pulsazione \omega_d del segnale è a bassa frequenza:
S(s) \equiv W_{{d_u}_{\text{sin}}} (s) = \frac{{d_u}_{\text{sin}} (s)}{u(s)} \Rightarrow Y_{d,p} = D_s \left| W_{{d_u}_{\text{sin}}} \left( j \omega_d \right) \right| = D_s \left| S \left( j \omega_d \right) \right|

Implicazioni sul progetto del controllore[modifica]

21-33 La sensibilità S(s) attraversa l'asse a 0 dB in un intorno della pulsazione di taglio \omega_c della funzione G_a (s) → se si vuole imporre che la sensibilità attraversi l'asse a 0 dB a una pulsazione inferiore a una data \omega_M, è necessario scegliere una pulsazione di taglio desiderata {\omega_c}_{\text{des}} abbastanza superiore a \omega_M, ma non eccessivamente per non allargare troppo la banda \omega_B. Come prima scelta:

\left| S \left( j \omega \right) \right| < 1 \text{ per } \omega < \omega_M \Rightarrow {\omega_c}_{\text{des}} = 1,5 \omega_M

38-46 All'inserimento di una rete attenuatrice, la sensibilità S(s) del sistema aumenta nell'intervallo di pulsazioni in cui il modulo della funzione d'anello G_a(s) è diminuito → è opportuno evitare di collocare le reti attenuatrici a pulsazioni x_i troppo basse.

Note[modifica]

  1. Alle medie frequenze l'esatto andamento dipende dagli effettivi valori assunti dal modulo della funzione d'anello G_a(s).
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