Controlli automatici/Equilibrio di sistemi dinamici

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6 Un sistema dinamico stazionario è in equilibrio se:

  • l'ingresso <math>u \left( \bullet \right)</math> è pari all'ingresso di equilibrio <math>\bar u</math> costante nel tempo;
  • lo stato <math>x \left( \bullet \right)</math> è pari allo stato di equilibrio <math>\bar x = x \left( 0 \right)</math> costante nel tempo;
  • l'uscita <math>y \left( \bullet \right)</math> è pari all'uscita di equilibrio <math>\bar y</math> costante nel tempo.

La coppia <math>\left( \bar x , \bar u \right)</math> è detta punto di equilibrio.

Equilibrio di sistemi a tempo continuo[modifica]

8 <math>\begin{cases} \dot x (t) = f \left( x(t) , u (t) \right) \\

y (t) = g \left( x(t) , u(t) \right) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 0=f \left( \bar x , \bar u \right) \\ \bar y = g \left( \bar x , \bar u \right) \end{cases}</math>

9 Se il sistema è lineare:

<math>\begin{cases} \dot x (t) = A x (t) + B u (t) \\

y (t) = C x (t) + D u (t) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} A \bar x = - B \bar u \\ \bar y = C \bar x + D \bar u \end{cases}</math>

  • 10 Se la matrice <math>A</math> è invertibile, cioè <math>\det{\left( A \right)} \neq 0</math>, allora esiste uno ed uno solo punto di equilibrio isolato:
    <math>\begin{cases} \bar x = - {A}^{-1} B \bar u \\ \bar y = \left( -C A^{-1} B + D \right) \bar u \end{cases}</math>
  • Se la matrice <math>A</math> non è invertibile (singolare), cioè <math>\det{\left( A \right)} = 0</math>, allora a seconda del particolare sistema:
    • esistono infiniti punti di equilibrio;
      oppure
    • non esiste alcun punto di equilibrio.

Equilibrio di sistemi a tempo discreto[modifica]

13 <math>\begin{cases} x \left( k+1 \right) = f \left( x(k) , u (k) \right) \\

y (k) = g \left( x(k) , u(k) \right) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \bar x = f \left( \bar x , \bar u \right) \\ \bar y = g \left( \bar x , \bar u \right) \end{cases}</math>

14 Se il sistema è lineare:

<math>\begin{cases} x \left( k+1 \right) = A x (k) + B u (k) \\

y (k) = C x (k) + D u (k) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \left( I -A \right) \bar x = - B \bar u \\ \bar y = C \bar x + D \bar u \end{cases}</math>

  • 15 Se la matrice <math>I-A</math> è invertibile, cioè <math>\det{\left( I-A \right)} \neq 0</math>, allora esiste uno ed uno solo punto di equilibrio isolato:
    <math>\begin{cases} \bar x = {\left( I-A \right)}^{-1} B \bar u \\ \bar y = \left[ C {\left( I-A \right)}^{-1} B + D \right] \bar u \end{cases}</math>
  • Se la matrice <math>I-A</math> non è invertibile (singolare), cioè <math>\det{\left( I-A \right)} = 0</math>, allora a seconda del particolare sistema:
    • esistono infiniti punti di equilibrio;
      oppure
    • non esiste alcun punto di equilibrio.
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