Controlli automatici/Diagrammi polari e di Nyquist

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Diagramma polare[modifica]

2-3-7 Il diagramma polare di una funzione di trasferimento G (s) permette di analizzarne la risposta in frequenza tramite la sua rappresentazione grafica nel piano complesso:

G \left( j \omega \right) = \left| G \left( j \omega \right) \right| e^{j \angle G \left( j \omega \right)} , \quad \omega > 0

Ogni punto del diagramma polare, corrispondente ad una certa pulsazione \omega > 0, ha una distanza dall'origine pari al modulo e forma con l'asse reale un angolo pari alla fase.

9 Punto iniziale (\omega \to 0^+)
  • Se la funzione di trasferimento G(s) è priva di poli nell'origine, il diagramma polare parte da un punto sull'asse reale.
  • Se la funzione di trasferimento G(s) ha i poli nell'origine, il diagramma polare parte da un punto posto all'infinito su un asse cartesiano:
    G(s) = \frac{1}{s^i} \Rightarrow \begin{cases} {\left| G \left( j \omega \right) \right|}_{\omega \to 0^+} \to + \infty \\ {\left. \angle G \left( j \omega \right) \right|}_{\omega \to 0^+} = - {90}^\circ \cdot i \end{cases}
12-14 Punto finale (\omega \to + \infty)
  • Se la funzione di trasferimento G(s) è strettamente propria, il diagramma polare termina nell'origine con fase multipla di \pm {90}^\circ:
    \begin{cases} {\left| G \left( j \omega \right) \right|}_{\omega \to + \infty} = 0 \\ {\left. \angle G \left( j \omega \right) \right|}_{\omega \to + \infty} = {\left. \angle G \left( j \omega \right) \right|}_{\omega \to 0^+} - {90}^\circ \cdot \left( n_n + m_p \right) + {90}^\circ \cdot \left( n_p + m_n \right) \end{cases}
dove:
  • n_n è il numero di poli a parte reale \leq 0 (esclusi i poli nell'origine);
  • n_p è il numero di poli a parte reale > 0;
  • m_n è il numero di zeri a parte reale \leq 0;
  • m_p è il numero di zeri a parte reale > 0.
  • Se la funzione di trasferimento G(s) non è strettamente propria, il diagramma polare termina perpendicolarmente in un punto sull'asse reale diverso dall'origine.

Diagramma di Nyquist[modifica]

26 Il diagramma di Nyquist di una funzione di trasferimento G (s) permette di analizzarne la risposta in frequenza tramite la sua rappresentazione grafica nel piano complesso:

G \left( j \omega \right) = \left| G \left( j \omega \right) \right| e^{j \angle G \left( j \omega \right)} , \quad \forall \omega

29-30 Ogni polo nell'origine (j \omega_0 = 0)[1] determina una rotazione di fase di - {180}^\circ, rappresentata come una semicirconferenza di raggio infinito percorsa in senso orario da 0^- a 0^+ in modo che il diagramma di Nyquist sia costituito da una curva chiusa.

33 Poiché:

\begin{cases} \left| G \left( - j \omega \right) \right| = \left| G \left( j \omega \right) \right| \\ \angle G \left( - j \omega \right) = - \angle G \left( j \omega \right) \end{cases}

34 per \omega > 0 il luogo dei punti G \left( - j \omega \right) risulta simmetrico a quello di G \left( j \omega \right) rispetto all'asse reale → il tracciato di G \left( j \omega \right) per \omega < 0 si ottiene dal ribaltamento del diagramma polare corrispondente a \omega > 0.

Note[modifica]

  1. In realtà questo vale per qualsiasi coppia di poli complessi coniugati appartenenti all'asse immaginario (cioè a parte reale nulla).
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