Controlli automatici/Diagrammi e carta di Nichols

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Diagramma e carta di Nichols[modifica]

2 Il diagramma di Nichols di una funzione di trasferimento G(s) permette di analizzarne la risposta in frequenza tramite la sua rappresentazione grafica nel piano cartesiano di Nichols {\left. \ang G (j \omega ) \right|}_{\text{gradi}} \otimes {\left| G (j \omega ) \right|}_{\text{dB}}:

G(j \omega ) = \left| G (j \omega ) \right| e^{j \ang G (j \omega )} , \quad \omega > 0

11 La carta di Nichols è costituita dai luoghi a modulo costante M e a fase costante N della funzione di trasferimento in catena chiusa W_y (s), tracciati sul piano di Nichols {\left. \ang G (j \omega ) \right|}_{\text{gradi}} \otimes {\left| G (j \omega ) \right|}_{\text{dB}}.

Margini di stabilità[modifica]

Margini di guadagno e di fase letti sul diagramma di Nichols
14-15-21 Margini di stabilità letti sul diagramma di Nichols sovrapposto alla carta di Nichols

8-9 I margini di guadagno {m_G}_{\text{dB}} e di fase m_\varphi possono essere letti sul diagramma di Nichols della funzione d'anello G_a(s).

12 Sovrapponendo alla carta di Nichols il diagramma di Nichols della funzione d'anello G_a ( s ), è possibile ricavare il valore di modulo e fase della funzione di trasferimento in catena chiusa W_y (s) al variare della pulsazione \omega.

16 Il picco di risonanza M_r della funzione di trasferimento in catena chiusa W_y (s) non supera un valore limite {M_r}_{\text{lim}}, garantendo una buona robustezza della stabilità, se e solo se il diagramma di Nichols della funzione d'anello G_a (j \omega ) è esterno alla curva della carta di Nichols corrispondente a modulo costante pari a {M_r}_{\text{lim}}:

  • se il picco di risonanza M_r non supera il valore limite {M_r}_{\text{lim}}, allora il margine di fase m_\varphi è maggiore del valore limite {m_\varphi}_{\text{lim}}:
    M < {M_r}_{\text{lim}} \Rightarrow m_\varphi > {m_\varphi}_{\text{lim}}
24 dove il valore limite {m_\varphi}_{\text{lim}} è il margine di fase letto in corrispondenza della curva della carta di Nichols corrispondente a modulo costante M pari a {M_r}_{\text{lim}}:
\begin{cases} {\left. {m_\varphi}_{\text{lim}} \right|}_{\text{rad}} = \rm{arctg}{\left( \frac{\sqrt{4 {M_r^2}_{\text{lim}} -1}}{2 {M_r^2}_{\text{lim}} -1} \right)} \\ {\left. {m_\varphi}_{\text{lim}} \right|}_{\text{gradi}} \cong 60^\circ - 5 {\left. {M_r}_{\text{lim}} \right|}_{\text{dB}} , \quad 0 \text{ dB} < {M_r}_{\text{lim}} < 6 \text{ dB} \end{cases}
  • 22 se il picco di risonanza M_r non supera il valore limite {M_r}_{\text{lim}}, allora il margine di guadagno m_G è maggiore del valore limite {m_G}_{\text{lim}}:
    M < {M_r}_{\text{lim}} \Rightarrow m_G > {m_G}_{\text{lim}}
24 dove il valore limite {m_G}_{\text{lim}} è il margine di guadagno letto in corrispondenza della curva della carta di Nichols corrispondente a modulo costante M pari a {M_r}_{\text{lim}}:
\begin{cases} {m_G}_{\text{lim}} = \frac{{M_r}_{\text{lim}}}{{M_r}_{\text{lim}} +1} \\ {\left. {m_G}_{\text{lim}} \right|}_{\text{dB}} \cong 6- 0,4 {\left. {M_r}_{\text{lim}} \right|}_{\text{dB}} , \quad 0 \text{ dB} < {M_r}_{\text{lim}} < 6 \text{ dB} \end{cases}
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