Controlli automatici/Diagrammi e carta di Nichols

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Diagramma e carta di Nichols[modifica | modifica sorgente]

2 Il diagramma di Nichols di una funzione di trasferimento <math>G(s)</math> permette di analizzarne la risposta in frequenza tramite la sua rappresentazione grafica nel piano cartesiano di Nichols <math>{\left. \ang G (j \omega ) \right|}_{\text{gradi}} \otimes {\left| G (j \omega ) \right|}_{\text{dB}}</math>:

<math>G(j \omega ) = \left| G (j \omega ) \right| e^{j \ang G (j \omega )} , \quad \omega > 0</math>

11 La carta di Nichols è costituita dai luoghi a modulo costante <math>M</math> e a fase costante <math>N</math> della funzione di trasferimento in catena chiusa <math>W_y (s)</math>, tracciati sul piano di Nichols <math>{\left. \ang G (j \omega ) \right|}_{\text{gradi}} \otimes {\left| G (j \omega ) \right|}_{\text{dB}}</math>.

Margini di stabilità[modifica | modifica sorgente]

Margini di guadagno e di fase letti sul diagramma di Nichols
14-15-21 Margini di stabilità letti sul diagramma di Nichols sovrapposto alla carta di Nichols

8-9 I margini di guadagno <math>{m_G}_{\text{dB}}</math> e di fase <math>m_\varphi</math> possono essere letti sul diagramma di Nichols della funzione d'anello <math>G_a(s)</math>.

12 Sovrapponendo alla carta di Nichols il diagramma di Nichols della funzione d'anello <math>G_a ( s )</math>, è possibile ricavare il valore di modulo e fase della funzione di trasferimento in catena chiusa <math>W_y (s)</math> al variare della pulsazione <math>\omega</math>.

16 Il picco di risonanza <math>M_r</math> della funzione di trasferimento in catena chiusa <math>W_y (s)</math> non supera un valore limite <math>{M_r}_{\text{lim}}</math>, garantendo una buona robustezza della stabilità, se e solo se il diagramma di Nichols della funzione d'anello <math>G_a (j \omega )</math> è esterno alla curva della carta di Nichols corrispondente a modulo costante pari a <math>{M_r}_{\text{lim}}</math>:

  • se il picco di risonanza <math>M_r</math> non supera il valore limite <math>{M_r}_{\text{lim}}</math>, allora il margine di fase <math>m_\varphi</math> è maggiore del valore limite <math>{m_\varphi}_{\text{lim}}</math>:
    <math>M < {M_r}_{\text{lim}} \Rightarrow m_\varphi > {m_\varphi}_{\text{lim}}</math>
24 dove il valore limite <math>{m_\varphi}_{\text{lim}}</math> è il margine di fase letto in corrispondenza della curva della carta di Nichols corrispondente a modulo costante <math>M</math> pari a <math>{M_r}_{\text{lim}}</math>:
<math>\begin{cases} {\left. {m_\varphi}_{\text{lim}} \right|}_{\text{rad}} = \rm{arctg}{\left( \frac{\sqrt{4 {M_r^2}_{\text{lim}} -1}}{2 {M_r^2}_{\text{lim}} -1} \right)} \\ {\left. {m_\varphi}_{\text{lim}} \right|}_{\text{gradi}} \cong 60^\circ - 5 {\left. {M_r}_{\text{lim}} \right|}_{\text{dB}} , \quad 0 \text{ dB} < {M_r}_{\text{lim}} < 6 \text{ dB} \end{cases}</math>
  • 22 se il picco di risonanza <math>M_r</math> non supera il valore limite <math>{M_r}_{\text{lim}}</math>, allora il margine di guadagno <math>m_G</math> è maggiore del valore limite <math>{m_G}_{\text{lim}}</math>:
    <math>M < {M_r}_{\text{lim}} \Rightarrow m_G > {m_G}_{\text{lim}}</math>
24 dove il valore limite <math>{m_G}_{\text{lim}}</math> è il margine di guadagno letto in corrispondenza della curva della carta di Nichols corrispondente a modulo costante <math>M</math> pari a <math>{M_r}_{\text{lim}}</math>:
<math>\begin{cases} {m_G}_{\text{lim}} = \frac{{M_r}_{\text{lim}}}{{M_r}_{\text{lim}} +1} \\ {\left. {m_G}_{\text{lim}} \right|}_{\text{dB}} \cong 6- 0,4 {\left. {M_r}_{\text{lim}} \right|}_{\text{dB}} , \quad 0 \text{ dB} < {M_r}_{\text{lim}} < 6 \text{ dB} \end{cases}</math>
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