Controlli automatici/Diagrammi di Bode

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4-5 I diagrammi di Bode del modulo e della fase di una funzione di trasferimento <math>G (s)</math> permettono di analizzarne la risposta in frequenza:

<math>G (s) = K \frac{\left( \frac{s}{\lambda_a} - 1 \right) \left( \frac{s}{\lambda_b} - 1 \right) \cdots}{\left( \frac{s}{\lambda_1} - 1 \right) \left( \frac{s}{\lambda_2} - 1 \right) \cdots} \Rightarrow {\left. G \left( j \omega \right) \right|}_{\text{dB}} = {\left| G \left( j \omega \right) \right|}_{\text{dB}} e^{j \angle G \left( j \omega \right)} , \quad {\left| G \left( j \omega \right) \right|}_{\text{dB}} = 20 \log_{10}{\left| G \left( j \omega \right) \right|}</math>

18 La funzione di trasferimento <math>G (s)</math> può essere espressa come prodotto di funzioni di trasferimento elementari (fattori):

Fattore <math>f(s)</math> f \left( j \omega \right) \right|}_{\text{dB}}</math> Fase <math>\angle f \left( j \omega \right)</math>
costante (guadagno):
<math>K</math>
Constant Bode plot (module).png
<math>20 \log_{10} \left| K \right|</math>
Constant Bode plot (phase).png
<math>\begin{cases} 0^\circ & K > 0 \\ - {180}^\circ & K < 0 \end{cases}</math>
polo nell'origine (integratore):
<math>\frac{1}{s}</math>
Pole in origin Bode plot (module).png
<math>-20 \log_{10}{ \omega }</math>
Pole in origin Bode plot (phase).png
<math>{-90}^\circ</math>
polo reale:
<math>\frac{\lambda}{s- \lambda} , \quad \lambda \neq 0</math>
Real pole Bode plot (module).png
<math>20 \log_{10}{\frac{\left| \lambda \right|}{\sqrt{\lambda^2 + \omega^2}}}</math>
Real pole Bode plot (phase).png
<math>{\rm{arctg}}{\frac{\omega}{\lambda}}</math>
\zeta \right| < 1 \end{cases}</math> Complex poles Bode plot (module).png
<math>20 \log_{10}{\frac{\omega_n^2}{\sqrt{ {\left( \omega_n^2 - \omega^2 \right)}^2 + {\left( 2 \zeta \omega_n \omega \right)}^2 }}}</math>
Complex poles Bode plot (phase).png
<math>- {\rm{arctg}}{\frac{2 \zeta \omega_n \omega}{\omega_n^2 - \omega^2}}</math>

46 I diagrammi di Bode degli zeri si ottengono da quelli dei poli di pari valore cambiando segno sia ai moduli sia alle fasi. Graficamente ciò corrisponde a un ribaltamento rispetto all'asse orizzontale.

48 I diagrammi di Bode della funzione di trasferimento <math>G (s)</math> sono ottenuti dalla somma dei contributi delle singole funzioni di trasferimento elementari.

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