Controlli automatici/Analisi nel dominio di Laplace e del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo continuo

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13-30 Il comportamento dinamico di un sistema LTI a tempo continuo è descritto dalle equazioni di ingresso-stato-uscita:

\begin{cases} \dot x \left( t \right) = A x \left( t \right) + B u \left( t \right) \\
y \left( t \right) = C x \left( t \right) + D u \left( t \right) \end{cases}
17-32 Movimento dello stato x \left( t \right)
x \left( t \right) = x_\ell \left( t \right) + x_f \left( t \right)
  • movimento libero x_{\ell} \left( t \right): movimento dello stato con ingressi nulli, dipende solo dallo stato iniziale x \left( 0^- \right);
  • movimento forzato x_f \left( t \right): movimento dello stato di un sistema inizialmente a riposo (condizioni iniziali nulle), dipende solo dall'ingresso u \left( t \right).
18-34 Movimento dell'uscita y \left( t \right) (risposta del sistema)
y \left( t \right) = y_\ell \left( t \right) + y_f \left( t \right)
  • risposta libera y_{\ell} \left( t \right): movimento dell'uscita con ingressi nulli, dipende solo dallo stato iniziale x \left( 0^- \right);
  • risposta forzata y_f \left( t \right): movimento dell'uscita di un sistema inizialmente a riposo (condizioni iniziali nulle), dipende solo dall'ingresso u \left( t \right).

Analisi nel dominio del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo continuo[modifica]

32 Formula di Lagrange
\begin{cases} x \left( t \right) = \underbrace{e^{At} x \left( 0^- \right)}_{x_\ell \left( t \right)} + \underbrace{\int_0^t e^{A \left( t - \tau \right)} B u \left( \tau \right) d \tau}_{x_f \left( t \right)} \\
y \left( t \right) = \underbrace{C e^{At} x \left( 0^- \right)}_{y_\ell \left( t \right)} + \underbrace{C \int_0^t e^{A \left( t - \tau \right)} B u \left( \tau \right) d \tau + D u \left( t \right)}_{y_f \left( t \right)} \end{cases}

Analisi nel dominio di Laplace di sistemi dinamici LTI a tempo continuo[modifica]

16-17-18-19 La soluzione nel dominio della frequenza si ottiene trasformando le equazioni di ingresso-stato-uscita nel dominio di Laplace e calcolando esplicitamente X \left( s \right) e Y \left( s \right):

\begin{cases} s X \left( s \right) - x \left( 0^- \right) = A X \left( s \right) + B U \left( s \right) \Rightarrow X \left( s \right) = \underbrace{ \overbrace{ {\left( sI - A \right)}^{-1}}^{H_0^x \left( s \right)} x \left( 0^- \right)}_{ X_\ell \left( s \right) } + \underbrace{ \overbrace{ {\left( sI - A \right)}^{-1} B}^{H_f^x \left( s \right)} U \left( s \right)}_{X_f \left( s \right) } = H_0^x \left( s \right) x \left( 0^- \right) + H_f^x \left( s \right) U \left( s \right) \\
Y \left( s \right) = C X \left( s \right) + D U \left( s \right) = \underbrace{ \overbrace{ C {\left( sI - A \right)}^{-1}}^{H_0 \left( s \right)} x \left( 0^- \right)}_{Y_\ell \left( s \right)} + \underbrace{ \overbrace{ \left[ C {\left( sI - A \right)}^{-1} B + D \right]}^{H \left( s \right)} U \left( s \right)}_{Y_f \left( s \right) } = H_0 \left( s \right) x \left( 0^- \right) + H \left( s \right) U \left( s \right) \end{cases}

dove:

  • la matrice H \left( s \right) è detta matrice di trasferimento;
  • la matrice s I_n - A deve avere il determinante diverso da 0 perché sia invertibile, quindi non sono ammessi al più n valori distinti di s che sono gli zeri del polinomio caratteristico di grado n:
    \det \left( s I_n - A \right) = s^n + \alpha_{n-1} s^{n-1} + \cdots + \alpha_1 s + \alpha_0
  • le matrici H_0^x \left(  s \right), H_f^x \left( s \right), H_0 \left( s \right) e H \left( s \right) sono matrici complesse i cui elementi sono funzioni razionali fratte (rapporto di polinomi) nella variabile complessa s (a causa della matrice inversa).

Funzione di trasferimento[modifica]

20 Per un sistema a p ingressi e q uscite, la matrice di trasferimento H \left( s \right) è costituita da una matrice a q righe e p colonne di funzioni razionali della variabile s:

\begin{bmatrix} Y_1 \left( s \right) \\ Y_2 \left( s \right) \\ \vdots \\ Y_q \left( s \right)  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} H_{11} \left( s \right) & H_{12} \left( s \right) & \cdots & H_{1p} \left( s \right) \\ H_{21} \left( s \right) & H_{22} \left( s \right) & \cdots & H_{2p} \left( s \right) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ H_{q1} \left( s \right) & H_{q2} \left( s \right) & \cdots & H_{qp} \left( s \right) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} U_1 \left( s \right) \\ U_2 \left( s \right) \\ \vdots \\ U_p \left( s \right) \end{bmatrix}

La funzione di trasferimento tra l'uscita Y_i e l'ingresso U_j è calcolabile supponendo nulli tutti gli altri ingressi:

Y_i \left( s \right) = H_{i1} \left( s \right) U_1 \left( s \right) + H_{i2} \left( s \right) U_2 \left( s \right) + \cdots + H_{ip} \left( s \right) U_p \left( s \right) = \sum_{j=1}^p H_{ij} \left( s \right) U_j \left( s \right) \Rightarrow H_{ij} \left( s \right) = {\left. \frac{Y_i}{U_j} \right|}_{\forall k : \; U_k \neq 0}

22 Se il sistema è a un ingresso (p = 1) e un'uscita (q = 1) (SISO), allora la matrice di trasferimento H \left( s \right) si dice funzione di trasferimento.

Forma polinomiale
H \left( s \right) = \frac{N_H \left( s \right)}{D_H \left( s \right)} = \frac{b_m s^m + b_{m-1} s^{m-1} + \cdots + b_1 s + b_0}{ s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0} , \quad m \leq n

In un sistema fisicamente realizzabile la funzione di trasferimento H \left( s \right) è strettamente propria: ha un numero di zeri inferiore al numero di poli (m < n).

23 Forma "zeri e poli"
H \left( s \right) = K_{\infty} \frac{\left( s-z_1 \right) \left( s - z_2 \right) \cdots \left( s-z_m \right)}{\left( s-p_1 \right) \left( s - p_2 \right) \cdots \left( s-p_n \right)}

dove K_\infty è il guadagno infinito e dipende da n-m (eccedenza dei poli rispetto agli zeri):

K_\infty = \lim_{s \to \infty} s^{n-m} H \left( s \right)
24 Forma fattorizzata di Bode
H \left( s \right) = K \frac{\left( {s \over z_1} -1 \right) \left( {s \over z_2} -1 \right) \cdots \left( {s \over z_m} -1 \right)}{\left( {s \over p_1} -1 \right) \left( {s \over p_2} -1 \right) \cdots \left( {s \over p_n} -1 \right)}

Rappresentazione di singolarità complesse[modifica]

Conjugate complex number representation.png

25-26-27 Per ogni radice complessa s_1 esiste sempre la radice complessa coniugata s_2:

\left( s- s_1 \right) \left( s-s_2 \right) = \left( s - \sigma_0 - j \omega_0 \right) \left( s - \sigma_0 + j \omega_0 \right) = s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2

dove:

  • la pulsazione naturale \omega_n è la distanza dall'origine:
    \omega_n = \sqrt{ {\sigma_0}^2 + {\omega_0}^2}
  • lo smorzamento \zeta è il seno dell'angolo \theta formato con l'asse immaginario:
    \zeta = \sin \theta
    • se lo smorzamento \zeta è positivo, le radici complesse si trovano nel semipiano di sinistra;
    • se lo smorzamento \zeta è negativo, le radici complesse si trovano nel semipiano di destra.
28 Forma "zeri e poli"

Le radici complesse coniugate si scrivono preferibilmente nella forma con pulsazione naturale e smorzamento.

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