Algoritmi e programmazione/La ricorsione

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  • 2 ricorsione diretta: nella definizione di una procedura si richiama la procedura stessa
  • ricorsione indiretta: nella definizione di una procedura si richiama una o più procedure che richiamano la procedura stessa

4 Si rompe ricorsivamente un problema in analoghi sottoproblemi più semplici, fino a quando non si arriva alla soluzione di un problema elementare: Human-edit-redo.svg 6. Il paradigma "divide et impera".

5 Non è una definizione circolare (all'infinito), ma c'è la condizione di terminazione (ricorsione finita).

Esempi[modifica]

Fattoriale[modifica]

6 La definizione stessa di fattoriale è di tipo ricorsivo.

7 A ogni passo si genera un unico sottoproblema anziché due → non sarà un albero binario completo.

Numeri di Fibonacci[modifica]

Fibonacci.png

8 Un numero di Fibonacci FIBn + 1 è la somma dei due che lo precedono nell'ordinamento: FIBn − 1 e FIBn.

9 La ratio aurea è il rapporto tra un segmento maggiore a e uno minore b: \varphi = \tfrac{a}{b}. Il segmento maggiore a è il medio proporzionale tra il minore b e la somma dei due:

\left( a + b \right) : a = a : b ; \; \frac{ \varphi + 1 } {\varphi} = \varphi; \; {\varphi}^2 - \varphi - 1 = 0; \; \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \vee \varphi ' = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}

10 Ogni numero di Fibonacci ha la seguente relazione con la ratio aurea \varphi:

FIBn = \frac{{\varphi}^n - {\varphi'}^n}{\sqrt{5}}

11 La ricorsione non procede in modo parallelo per livelli dell'albero, ma è un'analisi in profondità dell'albero della ricorsione, ovvero si segue ogni cammino fino alla foglia = soluzione elementare.

Algoritmo di Euclide[modifica]

12 Dati m e n, permette di calcolare il Massimo Comun Divisore:

  • se m > n → MCD(m, n) = MCD(n, m mod n)
  • condizione di terminazione: se n = 0 ritorna m

Valutazione di espressione in forma prefissa[modifica]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi la pagina Notazione polacca su Wikipedia.

14 Ponendo per semplicità di trattare solo con operandi di somma e prodotto di arità 2, una espressione può essere definita ricorsivamente in funzione di se stessa: Forma prefissa.png, con condizione di terminazione: l'espressione è uno degli operandi.

17 Inserendo l'espressione in un vettore Vettore forma prefissa.png, a ogni passo si valuta a[i]:

  • se a[i] è un operatore, valuta l'espressione a destra dell'operatore;
  • condizione di terminazione: se a[i] è un numero, ritornalo.

Ricerca binaria[modifica]

25 Si considera a ogni passo della ricorsione un sottovettore di metà dimensione, anch'esso ordinato.

Ricerca del massimo di un vettore[modifica]

27 A ogni passo, si suddivide il vettore in due sottovettori, si recupera il massimo di ciascun sottovettore, e si confrontano i risultati. Si termina quando il sottovettore ha un solo elemento.

Moltiplicazione rapida di 2 interi[modifica]

40 1º modo) Seguo la definizione ricorsiva: \begin{cases} x \cdot y = x + x \cdot \left( y - 1 \right) \\
x \cdot 1 = x \end{cases}

2º modo) Si assume:

  • si sa calcolare il prodotto solo di cifre decimali (come se si avessero solo le tavole pitagoriche);
  • per semplicità che x e y abbiano x = 2k cifre.

Si divide x in due sottovettori xs e xd di metà dimensione, e così pure y in ys e yd\begin{cases} x = x_s \cdot {10}^{{n \over 2}} + x_d \\
y = y_s \cdot {10}^{{n \over 2}} + y_d \end{cases}

x \cdot y = \left( x_s \cdot {10}^{{n \over 2}} + x_d \right) \cdot \left( y_s \cdot {10}^{{n \over 2}} + y_d \right) = x_s \cdot y_s \cdot {10}^n + x_s \cdot y_d \cdot {10}^{{n \over 2}} + x_d \cdot y_s \cdot {10}^{{n \over 2}} + x_d \cdot y_d

Si continua a suddividere ciascun sottovettore fino alla condizione di terminazione: i fattori hanno una sola cifra.

49 A ogni passo, si generano 4 sottoproblemi di dimensione metà → si richiama per 4 volte l'operazione di moltiplicazione.

Moltiplicazione rapida di 2 interi ottimizzata[modifica]

50 Il numero di moltiplicazioni richiamate a ogni passo si riduce a 3:

x_s \cdot y_d+x_d \cdot y_s=x_s \cdot y_s+x_d \cdot y_d- \left( x_s-x_d \right) \cdot \left( y_s-y_d \right)

Liste[modifica]

Definizioni[modifica]

52 sequenza lineare = insieme finito di elementi, ciascuno associato a un indice univoco, in cui conta la posizione reciproca tra di essi (cioè ogni elemento ha un successore e un predecessore).

  1. 53 accesso diretto: (implementazione tramite vettore) locazioni di memoria contigue accessibili tramite indice → complessità O \left( 1 \right);
  2. 54 accesso sequenziale: l'accesso a un certo elemento necessita della scansione sequenziale della lista a partire dal primo elemento → complessità O \left( n \right).

Una lista è una sequenza lineare ad accesso sequenziale. La lista è un concetto astratto, e si può implementare in C:

  • tramite un vettore: lo posso usare anche per dati in locazioni di memoria non contigue;
  • tramite un sistema a puntatori Lista puntatori.png: in questo caso la lista si dice concatenata.

55 lista concatenata = insieme di elementi dello stesso tipo (dati), memorizzati in modo non contiguo (nodi, implementati tramite struct), accessibili mediante riferimento (link → puntatori) al successore/precedente. La memoria viene allocata e liberata dinamicamente per ogni nodo (→ i dati possono teoricamente essere infiniti), ma l'accesso non è diretto.

Classificazione[modifica]

  • 56 ordinata / non ordinata
  • circolare / con testa e coda
  • singolo-linkata / doppio-linkata (senza/con link a successore)

Ricorsione[modifica]

51 Definizione ricorsiva: Una lista è un elemento seguito da una lista. Funzioni:

  • conteggio: a ogni passo: 1 + numero degli elementi della sottolista considerata a partire dal successore;
  • attraversamento: elenca gli elementi in una lista con una strategia (ordine) predefinita di percorrimento;
  • eliminazione di un elemento.

52 Non sempre la soluzione ricorsiva è più efficiente di quella iterativa.

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