Algoritmi e programmazione/L'analisi di complessità degli algoritmi

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2 L'analisi di complessità è un metodo formale per prevedere le risorse richieste dall'algoritmo (cioè il tempo di esecuzione e la quantità di memoria utilizzata).

  • Il tempo però non è un tempo fisico o misurato sperimentalmente su un processore, ma dipende dal numero di passi → l'analisi di complessità è indipendente dalla macchina. Si assume che la macchina lavori in modo sequenziale e non parallelo (architettura di Von Neumann). 8 Un algoritmo meno complesso su una macchina più lenta può essere più veloce.
  • 3 L'analisi è indipendente da quali dati in ingresso ci sono ma è dipendente solo da quanti dati in ingresso ci sono, cioè più in generale dalla dimensione n del problema.
Output
  • S \left(n\right): memoria richiesta
  • T \left(n\right): tempo di esecuzione
4 Classificazione degli algoritmi per complessità (dal meno complesso al più complesso)
  • costante: 1
  • logaritmico: \log{n}
  • lineare: n
  • linearitmico: n \log{n}
  • quadratico: n^2
  • cubico: n^3
  • esponenziale: 2^n

Analisi di complessità di caso peggiore[modifica]

5 L'analisi di complessità è detta:

  • asintotica se il numero di dati tende a infinito;
  • di caso peggiore se il tempo stimato non può che essere maggiore o uguale al tempo effettivo su uno specifico dato.

6 Si stima il caso peggiore perché è quello più frequente generalmente, e perché il caso medio spesso è difficile da calcolare o coincide con il peggiore.

9 Ricerca sequenziale
T\left(n\right) \propto n
10 Ricerca dicotomica

Bisogna considerare il caso peggiore: la chiave non si trova. Alla i-esima iterazione, la lunghezza del sottovettore è uguale a \tfrac{1}{2^i}. La terminazione avviene quando il vettore è lungo 1 = \tfrac{1}{2^i};\;i = \log_2{n}.

11 Insertion sort

Nel caso peggiore, ad ogni iterazione del ciclo esterno si fanno i − 1 scansioni del vettore, e all'ultima se ne fanno n − 1:

T\left(n\right) = 1 + 2 + \ldots + \left( n - 2 \right) + \left( n - 1 \right) = \frac{n \left( n - 1 \right)}{2} \rightarrow T\left(n\right) \propto n^2

Notazioni[modifica]

O grande (O)[modifica]

13 T\left(n\right) = O\left(g\left(n\right)\right) \Leftrightarrow \exists c > 0, \, n_0 > 0 : \forall n \geq n_0 \rightarrow 0 \leq T\left(n\right) \leq c \cdot g\left(n\right)

g\left(n\right) è un limite superiore lasco:

  • superiore: è una funzione maggiorante, a partire da un certo n_0;
  • lasco: non scresce come g\left(n\right), ma al più come g\left(n\right).

14 Se T\left(n\right) è un polinomio in n di grado mT\left(n\right) = O\left(n^m\right).

Omega grande (\Omega)[modifica]

15 T\left(n\right) = \Omega \left(g \left( n \right) \right) \Leftrightarrow \exists c > 0, \, n_0 > 0 : \forall n \geq n_0 \rightarrow 0 \leq c \cdot g\left(n\right) \leq T\left(n\right)

g\left(n\right) è il limite inferiore lasco della complessità asintotica di caso peggiore (≠ caso migliore). Se si dimostra che, per una certa operazione, la \Omega è maggiore della complessità lineare, non si potrà mai trovare un algoritmo lineare che svolga quell'operazione.

16 T\left(n\right) polinomio → T\left(n\right) = \Omega \left( n^m \right)

Theta grande (\Theta)[modifica]

17 T\left(n\right) = \Theta \left(g \left( n \right) \right) \Leftrightarrow \exists c_1, \, c_2 \, n_0 > 0 : \forall n \geq n_0 \rightarrow 0 \leq c_1 \cdot g\left(n\right) \leq T\left(n\right) \leq c_2 \cdot g\left(n\right)

g\left(n\right) è il limite asintotico stretto di T\left(n\right): T\left(n\right) cresce come g\left(n\right).

18 È la combinazione dei due precedenti:

  • T\left(n\right) polinomio → T\left(n\right) = \Theta\left(n^m\right);
  • T\left(n\right) = \Theta\left(g\left(n\right)\right) \leftrightarrow T\left(n\right) = O\left(g\left(n\right)\right) \wedge T\left(n\right) = \Omega\left(g\left(n\right)\right)

Online connectivity[modifica]

19 L'online connectivity è un problema avente per input un insieme di coppie di interi p e q (per es. i nodi di una rete). (p, q) definisce una relazione di connessione tra i nodi p e q.

Proprietà
  • commutativa: se p è connesso con qq è connesso con p;
  • transitiva: se p è connesso con rq è connesso con rp è connesso con r.

Le coppie possono essere:

  • mantenute: la connessione della coppia non è ancora nota (output: coppia (p, q));
  • scartate: la coppia è già connessa, anche per la proprietà transitiva o commutativa (output: nullo).
20 Applicazioni
  • reti di computer: ottimizzazione togliendo le connessioni ridondanti;
  • reti elettriche;
  • linguaggi di programmazione: variabili equivalenti.

La struttura dati a grafo è costituita da 2 insiemi: nodi p e q e archi.

21 Per ottimizzare il grafo, si verifica di volta in volta se la connessione della coppia in input non è ancora nota o se è implicata già dalle precedenti. L'analisi di questo genere presuppone l'esistenza del grafo → non è un'analisi di connettività online.

34 La connettività si dice online se si sta lavorando non su una struttura o su un modello pre-esistente, ma su un grafo che viene costruito arco per arco.

  1. 35 ipotesi: si conoscono i vertici, e ogni vertice è connesso solo a se stesso → nessun arco;
  2. operazione find (ricerca): a ogni coppia in input, verifica se p e q appartengono allo stesso insieme (2 find);
  3. operazione union (unione): se p e q non erano connessi, unisci l'insieme a cui appartiene p (Sp) e l'insieme a cui appartiene q (Sq).

L'online connectivity può essere implementata tramite vettori:

  • quick-find: find rapide, union lente;
  • quick-union: find lente, union rapide.

Quick-find[modifica]

Quick-find.png

37 A seconda del contenuto della cella del vettore:

  • se è il suo stesso indice i: il vertice i-esimo è connesso a se stesso;
  • se è un altro indice: i due vertici appartengono allo stesso insieme.
38 Complessità
  • find: accesso a una cella di vettore tramite il suo indice: O\left(1\right)
  • union: scansione del vettore per cambiare da p a q: O\left(n\right)

Complessità di caso peggiore totale: numero di coppie × dimensioni vettore (n)

39 riferimenti diretti (nessuna catena) → si trova subito il rappresentante

Quick-union[modifica]

Quick-union.png

53 C'è una catena di riferimenti di tipo indiretto. A seconda del contenuto della cella del vettore:

  • se è uguale al suo indice i: fine catena;
  • se è diverso dal suo indice: passa alla cella i-esima a cui punta: id[id[...id[i]]...] = (id[i])*
55 Complessità
  • find: due elementi sono connessi se (id[i])* = (id[j])*: T\left(n\right) = O\left(n\right)
  • union: la testa della prima catena punta alla testa della seconda, cioè (id[p])* = (id[q])* → l'albero si frastaglia: T\left(n\right) = O\left(1\right)

Nella find si deve perciò percorrere tutta la catena fino alla testa, la union è immediata (unione solo delle teste).

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